Квадрат и прямоугольник: стороны, углы и общие признаки

Что общего у квадрата и прямоугольника

Квадрат и прямоугольник — четырёхугольники: у каждой фигуры четыре прямые стороны и четыре вершины. В обоих случаях все четыре угла прямые. У квадрата дополнительно все четыре стороны равны.

Квадрат является частным случаем прямоугольника: он удовлетворяет признакам прямоугольника и имеет равные стороны. При этом не каждый прямоугольник является квадратом. Например, прямоугольник со сторонами 6 и 4 сантиметра не квадрат, а квадрат со стороной 4 сантиметра одновременно является и квадратом, и прямоугольником.

В занятии ребёнок сравнивает конкретные фигуры, показывает стороны и углы, а затем обсуждает, какие признаки совпадают. Не нужно заставлять его сразу произносить формальное определение или измерять каждый предмет в доме.

В этой статье под прямоугольником понимается четырёхугольник с четырьмя прямыми углами. Это определение включает и квадрат. Когда для наглядности мы используем фигуру 6 на 4, речь идёт о прямоугольнике, который не является квадратом.

Сравнение примеров не означает, что квадрат и прямоугольник 6 на 4 совпадают. Они принадлежат общей группе по признакам углов, но отличаются длинами соседних сторон. Один и тот же объект может удовлетворять более чем одному названию.

Обе фигуры являются замкнутыми плоскими фигурами. Их стороны соединяются в вершинах, и в подготовленных примерах каждый угол равен прямому. Для квадрата дополнительно проверяется равенство всех сторон.

Ребёнок может сначала показать свойства на картинках, а затем обсудить названия. Необязательно начинать с запоминания терминов.

Общее число сторон — четыре — ещё не гарантирует, что углы прямые. Поэтому фигуру с четырьмя сторонами сначала можно назвать четырёхугольником, а для названия прямоугольник проверить дополнительные условия.

В нашем примере взрослый подготовил обе фигуры с прямыми углами. Ребёнок может убедиться в этом на доступном образце.

Что подготовить

Нарисуйте на бумаге квадрат со стороной 4 сантиметра и прямоугольник 6 на 4 сантиметра. Для точного примера взрослый может использовать линейку и прямой угол листа. Сделайте фигуры достаточно крупными, чтобы стороны и вершины были видны.

Дополнительно подготовьте прямоугольный лист или картонный угол как образец прямого угла. Проверяйте, что выбранный угол действительно прямой: не каждый обрывок бумаги имеет подходящую форму.

Ребёнок может указывать, сравнивать по рисунку или попросить взрослого приложить образец. Вырезать фигуры необязательно; если используются ножницы, условия определяет взрослый с учётом возраста и безопасности.

На клетчатой бумаге можно изобразить квадрат 4 на 4 клетки и прямоугольник 6 на 4 клетки, если клетки одинаковые и линии прямые. Такой рисунок помогает сравнить длины сторон по числу равных отрезков.

Ребёнок может выбирать, какую фигуру рассматривать первой. Взрослый обеспечивает достаточно чёткие контуры и при необходимости показывает, где начинается сторона и где она заканчивается.

Если линейки нет, можно сравнить равные отрезки на одинаковой клетчатой сетке. При этом заранее проверьте, что размер клеток одинаков и контур проходит по линиям.

Для сравнения углов используйте корректный прямой угол, а не приблизительно сложенную бумагу, если точность вызывает сомнения. Взрослый может подготовить образец заранее.

Первый шаг: найдите стороны и вершины

Покажите квадрат и проведите пальцем или указкой вдоль одной стороны, не закрывая рисунок. Затем предложите найти остальные стороны. Считайте каждую один раз: один, два, три, четыре.

Вершина — место соединения двух соседних сторон. Покажите все четыре вершины на квадрате. Повторите наблюдение на прямоугольнике 6 на 4: у него тоже четыре стороны и четыре вершины.

Если контур нарисован слишком толсто или неровно, подготовьте более ясный рисунок. Ошибка счёта может быть связана с материалом, поэтому сначала уточните, какие части ребёнок показывает.

Чтобы не считать одну сторону дважды, начните с верхней и обходите контур в одном направлении. Каждый отрезок между соседними вершинами обозначает одну сторону.

Затем покажите точки соединения: верхнюю левую, верхнюю правую и две нижние вершины в конкретном расположении рисунка. Если фигуру повернуть, названия положений изменятся, но количество сторон и вершин останется четыре.

Ребёнок может провести указкой от одной вершины к следующей и назвать этот отрезок стороной. Затем он показывает место соединения двух сторон как вершину.

Толстая линия не должна скрывать соединения. Если рисунок мешает однозначно найти вершины, возьмите более крупный и ясный пример.

Второй шаг: сравните углы

Приложите образец прямого угла к одной вершине квадрата, совмещая стороны угла с соседними сторонами фигуры. Если стороны совпадают с образцом, этот угол прямой. Повторите проверку в остальных вершинах, если ребёнок заинтересован.

Таким же способом можно проверить углы прямоугольника 6 на 4. В нашем подготовленном примере все четыре угла прямые. Не делайте вывод по одному углу о любой неизвестной четырёхсторонней фигуре.

Слово «угол» можно объяснить на рисунке как расположение двух сторон, встречающихся в вершине. Ребёнок может показать его, не формулируя определение целиком.

Образец можно приложить так, чтобы его вершина совпала с вершиной рассматриваемой фигуры. Сопоставляйте обе стороны угла. Одного совпавшего края недостаточно для проверки.

Если образец согнут, его угол может быть неточным. В таком случае выберите другой проверенный образец. Сомнение в измерительном инструменте не является ошибкой ребёнка.

Прикладывая образец, удерживайте вершину в одном месте и сравнивайте оба луча угла с соседними сторонами. Если совмещается только один край, проверка ещё не завершена.

Ребёнок может руководить приложением образца словами или жестом. Взрослый описывает, что именно совпало, и не объявляет результат раньше сравнения.

Взрослый может показать проверку на одной вершине и затем предложить ребёнку выбрать другую. Если ребёнок хочет только смотреть, помощь взрослого остаётся частью примера.

Третий шаг: сравните длины сторон

У подготовленного квадрата все стороны по 4 сантиметра. У прямоугольника 6 на 4 противоположные стороны попарно равны, но сторона 6 сантиметров длиннее стороны 4 сантиметра.

Покажите две соседние стороны прямоугольника и сравните их с линейкой, если ребёнку интересно измерение. Не требуется выполнять измерение, чтобы взрослый мог рассказать свойства точно подготовленных фигур.

Четырёх равных сторон недостаточно для квадрата без проверки прямых углов: ромб может иметь равные стороны и непрямые углы. В квадрате должны выполняться оба условия.

Если фигуры вырезаны из бумаги, стороны можно сравнить с помощью отдельной полоски или линейки. Не растягивайте бумагу при сопоставлении. Для примера 6 на 4 соседние стороны различаются.

Клетчатая бумага даёт ещё один способ: посчитать одинаковые клетки вдоль каждой стороны. Этот способ работает при одинаковом размере клеток и точном совмещении сторон с линиями сетки.

В квадрате 4 на 4 каждая сторона имеет одинаковую заданную длину. В прямоугольнике 6 на 4 равны две стороны длиной 6 и две стороны длиной 4.

Если вы измеряете свой рисунок, используйте полученные значения. Примерные линии не обязательно дадут именно эти числа, если их заранее не построили точно.

Пример разговора

Взрослый: “Сколько сторон у этой фигуры?” Ребёнок показывает четыре. Взрослый: “А у другой?” Ребёнок снова находит четыре. Вместе они показывают вершины и прикладывают образец прямого угла.

Взрослый: “У нашего квадрата четыре равные стороны. У второго прямоугольника две стороны длиннее двух других. Является ли квадрат прямоугольником?” Если ребёнок не знает, взрослый объясняет, что у квадрата тоже четыре прямых угла.

Ребёнок может спросить, почему квадрат называют особым прямоугольником. Покажите признаки: он прямоугольник по углам и квадрат благодаря дополнительному равенству всех сторон.

Ребёнок: “Этот прямоугольник длиннее”. Взрослый: “Ты сравниваешь сторону 6 сантиметров со стороной 4 сантиметра. А сколько прямых углов у каждой фигуры?” Разговор может перейти от размера к общему признаку.

Если ребёнок не согласен с названием квадрата как прямоугольника, снова рассмотрите определение и углы. Не требуется заставлять его повторять формулировку; можно показать свойства на карточке.

Ребёнок: “У квадрата четыре одинаковые стороны”. Взрослый: “Да, в нашем рисунке все стороны равны. А что мы узнали об углах?” Ребёнок может приложить подготовленный образец или показать совпадающий угол.

Взрослый: “У прямоугольника 6 на 4 тоже четыре прямых угла, хотя соседние стороны разной длины”. Это сравнение связывает общее условие с дополнительным признаком квадрата.

Типичная ошибка: квадрат «не прямоугольник»

В некоторых играх квадрат и вытянутый прямоугольник показывают как отдельные картинки. Ребёнок может решить, что эти названия полностью исключают друг друга. Для сравнения конкретных картинок такое разделение бывает удобным, но оно не отражает включение фигур.

Покажите квадрат и спросите: “Четыре ли у него прямых угла?” Да. Значит, он удовлетворяет определению прямоугольника. Равенство всех сторон делает его также квадратом.

Напротив, прямоугольник 6 на 4 не является квадратом, потому что не все четыре стороны равны. Сравнение не требует объявлять квадрат и вытянутый прямоугольник одинаковыми по размерам.

Представьте две группы карточек: «прямоугольники» и «квадраты». Квадрат может находиться внутри обеих групп, потому что выполняет оба определения. Прямоугольник 6 на 4 относится только к первой из этих двух групп.

В задании, где фигуры требуют раскладывать в непересекающиеся корзины, взрослый должен заранее уточнить правило. Например, одну корзину можно назвать «квадраты», другую — «прямоугольники, которые не являются квадратами».

Можно сказать ребёнку: “Все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами”. Затем показать обе подготовленные карточки и проверить, какое дополнительное условие выполняет квадрат.

Это включение понятий не означает, что фигуры на карточках одинакового размера. Классификация и измерение отвечают на разные вопросы.

Типичная ошибка: повернутая фигура перестала быть квадратом

Поверните карточку с квадратом так, чтобы одна вершина оказалась сверху. Фигура остаётся квадратом: вращение не меняет длины сторон и величины углов.

Если ребёнок называет её «ромбом», можно объяснить, что квадрат также является ромбом, поскольку все его стороны равны. Важно, что при повороте сохраняются и четыре прямых угла.

Слово «ромб» не обязательно вводить в первом занятии. Достаточно показать, что поворот не превращает квадрат в другую фигуру и не отменяет его свойств.

Поверните бумажный квадрат и сравните его с исходным рисунком. Четыре стороны и прямые углы сохранились. Положение вершины относительно стола не является определяющим признаком квадрата.

Если ребёнок выбрал слово «ромб», спросите, какой признак он заметил. У квадрата действительно равны все стороны, а ещё все углы прямые. Эти свойства можно обсуждать без запрета на второе подходящее название.

Положение на столе можно изменить обратно, повернув карточку. До и после поворота это одна и та же фигура. Количество сторон, их длины и прямые углы сохраняются.

Если карточку согнули или изменили контур, это уже не просто поворот. Для чистого примера поворачивайте плоскую неизменённую форму.

Как упростить занятие

Начните с двух крупных подготовленных фигур и только одного вопроса: “Покажешь сторону?” Затем взрослый может показать вершину и назвать её. Необязательно сразу измерять длины или обсуждать включение понятий.

Ребёнок может обвести сторону в воздухе, указать взглядом или попросить взрослого приложить угол. Физическое рисование и устный ответ не являются единственными способами участия.

Если сравнение двух фигур отвлекает, рассмотрите сначала одну. Квадрат или прямоугольник можно изучать по отдельности и вернуться к сравнению позже.

Для первого знакомства положите квадрат на контрастный фон и попросите показать одну сторону. Взрослый может затем назвать остальные, а ребёнок выберет, хочет ли их пересчитать.

Если инструмент для углов неудобен, взрослый сначала показывает пример без требования самостоятельного действия. Описание с помощью взрослого отличается от независимой проверки, но остаётся полезной частью занятия.

Ребёнок может начать с поиска четырёх сторон только на квадрате. Взрослый показывает начало счёта и помогает при необходимости. Вторую фигуру можно предложить в другой раз.

Такое занятие не обязано сразу охватывать все признаки. Один понятный вопрос лучше нескольких условий, которые ребёнок не успевает рассмотреть.

Как добавить следующий шаг

Предложите три карточки: квадрат 4 на 4, прямоугольник 6 на 4 и треугольник. Попросите найти фигуры с четырьмя прямыми сторонами, а затем отдельно проверить углы и равенство сторон.

Квадрат и прямоугольник попадут в группу четырёхугольников, треугольник — нет. При проверке прямых углов оба подготовленных четырёхугольника подходят; при проверке равенства всех сторон из них подходит квадрат.

Не задавайте все вопросы одним длинным предложением. Каждый критерий меняет состав группы, и ребёнку полезно видеть, какой признак сейчас сравнивается.

Предложите ребёнку сгруппировать карточки сначала по числу сторон, а затем по наличию четырёх прямых углов. После каждого шага назовите новое правило. Состав группы может измениться.

Для отдельного вопроса о квадрате проверьте равенство сторон у фигур с четырьмя прямыми углами. Ребёнок может выбрать подходящую карточку или руководить приложением линейки.

Добавьте прямоугольник 6 на 4 в группу с квадратом по признаку четырёх прямых углов. Затем отдельно спросите, у какой из этих двух фигур все стороны равны.

В этом наборе второй вопрос выделяет квадрат. Если в набор добавить ещё один квадрат, обе подходящие карточки должны учитываться.

Подготовьте две карточки с квадратами разных размеров. Обе относятся к квадратам, если каждая имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла. Равенство сторон проверяется внутри каждой фигуры, а не между двумя карточками.

Большой и маленький квадрат могут иметь стороны разной длины между собой. Это не мешает каждому из них быть квадратом. Размер и принадлежность к классу фигур — разные свойства.

Рисунок и реальный предмет

Поверхность книги или лист бумаги может напоминать прямоугольник. Сначала договоритесь, какую именно поверхность рассматриваете. Объёмная книга и её плоская обложка — разные объекты.

Края реального предмета могут быть скруглены, закрыты или не идеально прямы. Тогда он может напоминать прямоугольник, но не обязательно служит точной геометрической моделью.

Для проверки определения удобнее использовать аккуратный рисунок. Повседневные предметы помогают замечать похожие формы, если не выдавать приблизительное сходство за точное измерение.

Окно, коробка или экран могут иметь поверхности, похожие на прямоугольник, но перспектива и скруглённые углы влияют на видимый контур. Скажите «похоже», если точные свойства не проверены.

Не просите ребёнка снимать тяжёлые предметы или касаться небезопасных поверхностей. Достаточно рассмотреть доступный пример или вернуться к подготовленному рисунку.

Плоская грань коробки может напоминать прямоугольник, а вся коробка имеет объём. Различайте объект и его грань, когда спрашиваете о четырёх сторонах.

Закруглённая обложка также может быть похожа на прямоугольник без точного выполнения условий. Подготовленный рисунок удобнее для формальной проверки.

Стороны и размеры

В прямоугольнике противоположные стороны равны попарно. В примере 6 на 4 две стороны имеют длину 6 сантиметров, две — 4 сантиметра. Все четыре угла при этом прямые.

Квадрат 4 на 4 также имеет попарно равные противоположные стороны и четыре прямых угла. Дополнительное условие — равенство всех четырёх сторон.

Размеры можно изменить, если подготовленные фигуры сохраняют заявленные свойства. Не подставляйте измерения, которые не проверили на конкретном рисунке.

У прямоугольника 6 на 4 соседние стороны разных длин. Это не нарушение определения прямоугольника: главное условие — четыре прямых угла. Равенство противоположных сторон является его свойством.

Если стороны 4 на 4 и углы прямые, фигура квадрат. Равные числовые подписи без точного рисунка могут задавать условную фигуру; при работе с реальным рисунком проверяйте, что он соответствует подписи.

Длина и направление стороны — разные свойства. При повороте фигуры сторона может стать наклонной относительно края листа, но её длина не изменится.

Если ребёнку интересно сравнение двух сторон, используйте один и тот же инструмент и единицу измерения. Взрослый может держать линейку по просьбе ребёнка.

Сравнение с другими четырёхугольниками

Ромб имеет четыре равные стороны, но его углы не обязаны быть прямыми. Если у конкретного ромба все углы прямые, он является квадратом. Поэтому равные стороны сами по себе не решают вопрос.

Другой четырёхугольник может иметь четыре стороны, но не иметь четырёх прямых углов. Числа сторон достаточно для названия «четырёхугольник», но недостаточно для определения прямоугольника.

Для первой встречи достаточно двух контрастных фигур. Дополнительные примеры вводятся, если ребёнок хочет исследовать условия точнее.

Наклонённый ромб с четырьмя равными сторонами может иметь два острых и два тупых угла. Он не квадрат, если его углы не прямые. Сравнивайте свойства конкретной фигуры, а не только её расположение.

Повернутый квадрат может выглядеть «наклонённым», но его углы остаются прямыми. Поворот всей фигуры отличается от изменения формы ромба.

Не вся фигура с четырьмя равными на вид сторонами является квадратом. Чтобы утверждать это, нужно знать и равенство сторон, и прямые углы.

На приблизительном рисунке глаз может не различить небольшую неточность. Скажите, что пример задуман как ромб или квадрат, либо используйте проверяемое построение.

Два участника и общий пример

Один участник показывает сторону, другой — вершину. Затем они могут вместе приложить образец прямого угла. Заранее спросите, хотят ли оба участвовать, и предложите удобные роли.

Если дети описывают разные части фигуры, их ответы могут быть одновременно верными. Взрослый уточняет, о каком признаке шла речь в каждом вопросе.

Линейка или карточка, принадлежащая ребёнку, используется с его согласия. Можно подготовить отдельные материалы для каждого участника.

Первый участник может показать две соседние стороны, второй — место их соединения. Взрослый спрашивает, хотят ли они вместе проверить угол. Партнёры могут поменяться ролями.

Если один ребёнок предпочитает наблюдать, это допустимая роль. Не требуйте одинакового количества ответов или сравнения скорости между детьми.

Один участник выбирает карточку, второй показывает на ней одну сторону. Затем первый может показать вершину. Роли меняются, только если оба этого хотят.

Если один участник называет квадрат, а другой прямоугольник, проверьте, о какой карточке они говорят. Для квадрата оба названия подходят; для прямоугольника 6 на 4 слово «квадрат» не подходит.

Доступные способы участия

Ребёнок может показать сторону взглядом, жестом, тактильно доступной карточкой или привычным средством коммуникации. Взрослый подтверждает выбор перед тем, как переместить образец.

Крупный контур или рельефная форма могут помочь некоторым детям, если материал безопасен и привычен. Спросите, какой вариант действительно удобен.

Рисовать, вырезать или произносить название фигуры самостоятельно не обязательно. Ребёнок может выбирать объекты и руководить проверкой с поддержкой.

Если контур сложно видеть, используйте крупный контрастный рисунок или подходящую рельефную форму. Ребёнок может выбрать инструмент, который он уже умеет использовать.

Взрослый может прикладывать образец по указанию ребёнка и подтверждать место выбора. Не перемещайте руку ребёнка без согласия. Описание результата должно учитывать предоставленную помощь.

Картинки можно расположить отдельно, чтобы ребёнок выбрал одну взглядом или жестом. Взрослый уточняет выбор и ждёт подтверждения перед тем, как прикладывать образец.

Человек, который руководит проверкой, участвует в ней даже если другой держит линейку. В заметке можно указать именно это распределение действий.

Что можно записать

По желанию нарисуйте две фигуры и подпишите: «четыре стороны и четыре прямых угла» для обеих; у квадрата дополнительно «все стороны равны». Ребёнок может диктовать подписи взрослому.

Короткая заметка о занятии может описывать помощь: “Ребёнок показал четыре стороны после вопроса взрослого”. Она не доказывает понимание всех геометрических фигур.

Сохранять лист необязательно. После обсуждения ребёнок может выбрать, оставить рисунок, использовать бумагу дальше или убрать материалы.

В таблице с двумя строками можно от руки отметить свойства каждой подготовленной фигуры: четыре стороны, четыре прямых угла и равенство всех сторон. Не ставьте отметку за ребёнка без согласования ответа.

Если таблица сложна, используйте два рисунка и подписи, которые ребёнок диктует. Любой сохранённый лист — описание конкретных примеров, а не доказательство знания всех фигур.

Ребёнок может нарисовать квадрат и прямоугольник и подписать их с помощью взрослого. Рядом можно указать общий признак — четыре прямых угла — если рисунки построены соответствующим образом.

Попросите ребёнка объяснить, что он хотел показать. Не приписывайте точные размеры его рисунку без измерения или предварительного условия.

Если взрослый помогает составить подписи, он может прочитать их ребёнку и спросить, соответствуют ли они его мысли. Ребёнок вправе изменить формулировку или отказаться от записи.

На следующей встрече подготовленные фигуры можно снова сравнить. Не обязательно повторять весь разговор или проводить занятие по заданному расписанию.

Продолжение на BrainHunters

Если ребёнку интересно исследовать формы в другом формате, вместе откройте занятия с фигурами и прочитайте правила выбранной активности.

Цифровое задание может использовать другие изображения или вопросы. Проверяйте, какой именно признак требуется в нём найти, и не предполагайте, что каждое задание рассматривает включение квадрата в прямоугольники.

В выбранной активности вместе уточните, рассматриваются ли плоские фигуры или изображения объёмных предметов. Куб и квадрат, например, не являются одним и тем же объектом.

Если игра использует условные рисунки, обсуждайте то, что реально видно на экране. Бумажные фигуры можно сохранить для отдельной проверки углов и сторон.

Если ребёнок не хочет продолжать за экраном, бумажное сравнение можно завершить самостоятельно. Выбор следующего занятия остаётся за семьёй.