Квадрат і прямокутник: порівнюємо паперові фігури та малюнки

Що саме порівнюємо

Порівняємо дві плоскі замкнені фігури: квадрат 4 × 4 см і прямокутник 6 × 4 см. У кожній по чотири прямі сторони, чотири вершини та чотири прямі кути. Числа тут задають розміри зразків, які дорослий може підготувати за лінійкою.

У квадраті чотири сторони мають однакову довжину. У прямокутнику 6 × 4 см дві протилежні сторони по 6 см і дві інші — по 4 см. Тому цей конкретний прямокутник не є квадратом, хоча він має чотири прямі кути.

Квадрат відповідає означенню прямокутника: це чотирикутник із чотирма прямими кутами. Прямокутник не обов’язково є квадратом, бо його сусідні сторони можуть мати різні довжини. Отже, слово «прямокутник» включає й квадрати.

Паперові зразки можна повертати й накладати, а малюнки — зберігати поруч для розмови. Модель із паперу має товщину, хоча в геометрії фігури розглядають як плоскі. Ми порівнюємо контур і плоску поверхню моделі, не всі властивості аркуша як предмета.

Потрібні аркуш паперу, лінійка, олівець і два вирізані зразки: квадрат 4 × 4 см та прямокутник 6 × 4 см. Дорослий може накреслити й вирізати їх заздалегідь або допомогти дитині відповідно до її потреб.

Для перевірки кута використайте кут прямокутного аркуша або креслярський косинець. Кут паперу має бути достатньо рівним; зім’ятий чи загнутий край дає ненадійну опору. Не обов’язково готувати фігури різного кольору.

На другому аркуші обведіть або накресліть обидві фігури. Позначте, який малюнок відповідає якому зразку. Якщо дитина показує місце для обведення, а дорослий тримає олівець, саме дитина може вирішувати, що й де порівнювати.

Перш ніж робити висновки про рівність сторін, перевірте якість зразків. Нерівно вирізаний край чи лінія великої товщини можуть ускладнити вимірювання. У такому разі скажіть «приблизно» або підготуйте точніший контур.

Крок перший: сторони та вершини

Покажіть квадрат і проведіть пальцем уздовж кожної сторони по черзі: одна, дві, три, чотири. Кожна сторона є прямим відрізком між сусідніми вершинами. Потім знайдіть чотири місця, де сторони зустрічаються: це вершини.

Повторіть лічбу на прямокутнику 6 × 4 см. Чотири сторони й чотири вершини є спільними ознаками цих двох моделей, але самі по собі вони ще не доводять наявності чотирьох прямих кутів.

Перевірте, чи не перелічено одну вершину двічі. Дитина може почати в будь-якій вершині й рухатися вздовж контуру. Коли повернулася до початкової точки, нової п’ятої вершини там не з’явилося.

На малюнку покажіть відповідні сторони й вершини. Якщо лінії товсті, домовтеся, де проходить контур. Дорослий може відмітити вершини за вказівкою дитини; кількість позначок має відповідати чотирьом місцям зустрічі сторін.

Прикладіть кут прямокутного аркуша до однієї вершини квадрата так, щоб вершини збіглися, а сторони кута йшли вздовж сторін фігури. Потім повторіть для решти кутів. Кожна перевірка потребує окремого суміщення.

Так само перевірте чотири кути моделі 6 × 4 см. У добре підготовлених зразках кожен має відповідати куту аркуша приблизно. Для строгішого креслення або вимірювання потрібен відповідний інструмент і точність, якої саморобні картки можуть не забезпечити.

Після повороту паперового прямокутника повторіть перевірку на одній вершині. Якщо модель не зігнули, поворот не змінює величину кута. Фігура може виглядати «косою» відносно краю столу, але її власні кути залишаються прямими.

Чотири сторони без перевірки кутів не достатні для висновку, що фігура є прямокутником. Наприклад, похилий паралелограм може мати чотири сторони, але не мати прямих кутів. Спробуйте прикласти до такого кута кут аркуша.

Крок третій: порівнюємо довжини

Виміряйте кожну сторону квадрата лінійкою, суміщаючи нульову позначку з початком сторони. Для заданого зразка результати мають бути приблизно по 4 см. Якщо край вирізано неточно, результат може відрізнятися; це властивість моделі, а не нового означення квадрата.

У моделі 6 × 4 см виміряйте сусідні сторони: одна приблизно 6 см, інша приблизно 4 см. Протилежні їм сторони мають відповідні довжини. Запишіть усі чотири результати, а не робіть висновок лише з одного виміру.

Сторони можна порівнювати й накладанням: сумістіть два краї так, щоб їхні початки збігалися. Якщо один кінець виступає, сторони різної довжини. Для паперових моделей ураховуйте неточність вирізання та розташування.

Поверніть квадрат і знову покажіть усі його сторони. Їхня орієнтація змінилася, але довжини залишилися тими самими. Поворот не перетворює квадрат на інший тип фігури.

Вирізаний зразок можна взяти, повернути й прикласти до кута аркуша. Він допомагає перевірити, чи впізнаємо фігуру в іншому положенні. Малюнок на сторінці залишається на місці, але його зручно підписати й порівняти пізніше.

На малюнку зазначте розміри: біля кожної сторони квадрата — 4 см; біля сторін прямокутника — 6, 4, 6 і 4 см по черзі. Підписи показують задуманий розмір, а вимірювання на неточній копії можуть відрізнятися.

Якщо малюнок не накреслено в масштабі, не визначайте співвідношення довжин лише за виглядом. Можна підписати «схема» й пояснити, що числові позначки є умовою прикладу. Для вимірювання підготуйте малюнок із потрібною точністю.

Після повороту зразка дитина може зіставити кожну сторону з відповідною стороною на малюнку. Якщо зображення не повертається разом із карткою, це різниця між рухомою моделлю та статичним записом, а не зміна самої фігури.

Діалог про квадрат, повернутий кутом догори

Дорослий повертає паперовий квадрат так, щоб одна вершина була зверху, і запитує: «Що змінилося?» Дитина може сказати: «Він стоїть навскіс» або назвати його ромбом. Дорослий приймає опис положення й пропонує перевірити сторони та кути.

Після перевірки можна сказати: «Фігура повернута. Її чотири сторони залишилися рівними, а чотири кути — прямими, тому це квадрат». Назва «ромб» також може бути правильною: квадрат має чотири рівні сторони й належить до ромбів.

Якщо дитина назвала повернутий квадрат ромбом, не потрібно виправляти її так, ніби це неможливо. Натомість уточніть, що квадрат — особливий ромб із прямими кутами, а також прямокутник із рівними сторонами. Назви описують ознаки, а не положення на столі.

Для порівняння покажіть похилий ромб без прямих кутів. У нього всі сторони можуть бути рівними, але перевірка кута аркуша покаже, що він не збігається з прямим. Такий ромб не є квадратом.

Почніть із правила: прямокутник має чотири прямі кути. Перевірений квадрат також має чотири прямі кути, отже підходить під це правило. Додаткова ознака квадрата — рівність усіх чотирьох сторін.

Фраза «квадрат або прямокутник» у побутовій грі іноді означає вибір між квадратом і прямокутником, який не є квадратом. Для точності так і назвіть другу картку: «прямокутник 6 × 4 см, який не є квадратом».

Якщо дитина сказала, що квадрат — прямокутник, вона застосувала правильне геометричне включення. Якщо вона хоче назвати його точніше, можна додати «це квадрат». Обидва твердження сумісні.

Не вимагайте запам’ятати всі назви до практичної перевірки. Спочатку покажіть сторони й кути, а потім запитайте, якому правилу відповідає фігура. Слова допомагають описати перевірені ознаки.

Спростити та ускладнити

Для першого знайомства залиште тільки квадрат і попросіть показати одну сторону та одну вершину. Потім разом знайдіть решту. Прямокутник і вимірювання можна додати іншого разу.

Якщо дитині складно тримати лінійку, вона може вказати сторону та місце нуля, а дорослий виконає рух і прочитає позначку. Перед записом уточніть, чи правильно зрозуміли вибір дитини.

Для наступного кроку додайте прямокутник 8 × 4 см або квадрат іншого розміру. Розмір не визначає назву сам по собі: потрібні умови про сторони й кути. Називайте нові розміри як новий приклад.

Ще один варіант — порівняти контур прямокутної коробки з паперовою моделлю. Коробка є об’ємним предметом, а одна її плоска грань може мати форму прямокутника. Не називайте всю коробку плоским прямокутником.

Покладіть квадрат і прямокутник поруч так, щоб їхні контури не перекривалися. Дитина може вибрати, з якої фігури почати. Дорослий просить показати одну сторону, а потім рухатися вздовж межі до наступної вершини.

Якщо дитина називає стороною всю поверхню паперової картки, покажіть різницю між внутрішньою частиною фігури та одним відрізком її контуру. Запропонуйте провести пальцем уздовж одного краю між двома сусідніми вершинами.

Для квадрата 4 × 4 см кожна зі сторін за умовою має довжину 4 см. Після вимірювання можна позначити їх як 4, 4, 4 і 4 см. Якщо одна виміряна сторона на папері відхиляється через нерівне вирізання, скажіть про приблизність.

Для прямокутника 6 × 4 см послідовність довжин уздовж контуру становить 6, 4, 6 і 4 см. Дві сторони по 6 см лежать навпроти одна одної, як і дві сторони по 4 см. Сусідні сторони в цьому прикладі різні.

Порівняйте коротку сторону прямокутника зі стороною квадрата: за заданими розмірами обидві мають 4 см. Це не робить фігури однаковими, бо інші сторони прямокутника мають 6 см. Одна спільна довжина не визначає весь контур.

Чому важливі всі чотири кути

Один прямий кут у чотирикутнику не гарантує, що три інші також прямі. Для двох підготовлених моделей перевірте кожну вершину. Після кожного суміщення кута аркуша можна ставити невелику позначку, щоб не повторити ту саму перевірку.

Дві сторони прямого кута мають йти вздовж двох сторін фігури від спільної вершини. Якщо кут аркуша прикладено далеко від вершини або лише один його край збігається зі стороною, результат ще не показує величини кута.

На малюнках прямий кут іноді позначають маленьким квадратиком біля вершини. Така позначка повідомляє про задуману властивість, якщо вона частина умови. Вона не виправляє неточне креслення, яке ви використовуєте для реального вимірювання.

Можна намалювати фігуру з чотирма сторонами, у якій принаймні один кут не прямий. Запитайте, чи достатньо лише кількості сторін для назви «прямокутник». Прикладіть кут аркуша до відповідної вершини та опишіть невідповідність.

Якщо зразок надто малий або край зігнутий і перевірка незрозуміла, збільште зображення чи використайте точніший креслярський інструмент. Дитина може вказувати вершини, а дорослий тримати інструмент за її вибором.

Покладіть прямокутник 6 × 4 см так, щоб довші сторони були приблизно паралельні краю столу. Потім поверніть його, не згинаючи й не розрізаючи. Тепер ті самі сторони можуть виглядати вертикальними або похилими відносно столу.

Попросіть дитину знайти сторону, яку до повороту виміряли як 6 см. Позначка на звороті або домовлена маленька риска допоможе простежити саме цей край. Після повороту його довжина не змінилася.

Коли квадрат повертають вершиною догори, він може нагадувати дитині ромб на знайомому малюнку. Заохотьте опис положення, а потім поверніться до ознак: чотири рівні сторони й чотири прямі кути. Положення не скасовує жодної з них.

Якщо дитина вважає, що після повороту з’явилися нові вершини, попросіть вибрати одну й простежити її рух. Накладання картки на її попередній контур після зворотного повороту допоможе перевірити відповідність.

Перевернути папір на інший бік також можна, якщо на ньому немає властивостей, важливих для іншого завдання. Тут порівнюємо геометричний контур; колір лицьового чи зворотного боку не змінює довжини сторін або величини кутів.

Приклади й неприклади для двох правил

Правило А: «Фігура має чотири прямі кути». І квадрат 4 × 4 см, і прямокутник 6 × 4 см задовольняють його. Тому обидві моделі можна покласти в групу прямокутників.

Правило Б: «Фігура має чотири прямі кути й чотири рівні сторони». Квадрат 4 × 4 см задовольняє обидві умови; прямокутник 6 × 4 см не задовольняє умову рівності всіх сторін. Це група квадратів.

Похилий ромб з чотирма рівними сторонами, але без прямих кутів, задовольняє умову рівності сторін, проте не задовольняє друге правило повністю. Не називайте будь-яку нахилену фігуру таким ромбом: поворот квадрата зберігає прямі кути.

Чотирикутник з одним прямим кутом також не можна автоматично віднести до прямокутників. Умови потрібно перевіряти в повному обсязі. Одна ознака є корисною підказкою, але не замінює решту вимог.

Намалюйте два поля: «усі чотири кути прямі» та «не всі кути прямі». Потім у першому полі окремо позначте квадрати. Картка квадрата належить першому полю і його підгрупі; не потрібно перекладати її в несумісну окрему категорію.

На папері з клітинками можна задумати квадрат 4 на 4 клітинки й прямокутник 6 на 4 клітинки. Якщо клітинки однакові й лінії рівні, це наочний спосіб порівняти чотири рівні сторони з двома парами різних сторін.

Одна клітинка не обов’язково дорівнює одному сантиметру. Називайте кількість клітинок окремо від сантиметрів, якщо не знаєте розмір сітки. Паперовий приклад 4 × 4 см і малюнок 4 × 4 клітинки мають однакове співвідношення, але не обов’язково однаковий розмір.

На чистому аркуші дорослий може допомогти накреслити прямий кут косинцем, а потім відкласти потрібні довжини. Дитина обирає, яку сторону провести чи виміряти, і показує початок. Перед записом дорослий уточнює її вибір.

Після обведення паперової картки перевірте, чи олівець не змістився. Обведення може бути трохи більшим за зразок. Якщо мета — точне вимірювання, різницю варто помітити; якщо мета — порівняти форму, можна описати контур як приблизний.

Підпис «квадрат» біля малюнка не доводить, що його сторони рівні й кути прямі. Це назва, яку автор задумав. Для перевірки використайте лінійку та інструмент для кута, якщо потрібна більша впевненість.

Розміри, периметр і площа: окремі запитання

Якщо дитині цікаво, можна скласти довжини сторін. Для квадрата 4 × 4 см периметр дорівнює 4 + 4 + 4 + 4 = 16 см. Для прямокутника 6 × 4 см периметр становить 6 + 4 + 6 + 4 = 20 см.

Ці обчислення стосуються заданих ідеальних розмірів, а не обов’язково неточно вирізаних карток. Для першої розмови про чотири сторони й прямі кути периметр обчислювати не потрібно.

Інше запитання — скільки одиничних квадратів поміститься без проміжків у прямокутній сітці. Модель 4 × 4 має 16 клітинок, а модель 6 × 4 — 24, якщо кожен розмір подано в однакових одиницях сітки.

Коли одиниця довжини дорівнює сантиметру, ці площі становлять відповідно 16 см² і 24 см². Не називайте площу в сантиметрах без квадратної одиниці. На аркуші довільного розміру зручніше говорити просто про кількість однакових клітинок.

Периметр і площа описують різні властивості. Дитина може досліджувати лише контур, не вводячи площу, або навпаки рахувати клітинки в межах фігури. Новий критерій називайте перед завданням, щоб не змішувати його з класифікацією за кутами.

Книжка, коробка чи рамка можуть мати грань або пласку поверхню, контур якої нагадує прямокутник. Запитайте, яку саме поверхню дитина показує. Товста книжка як предмет має кілька граней і не є плоскою геометричною фігурою.

Паперова серветка може бути приблизною моделлю квадрата, але складки чи нерівні краї ускладнюють перевірку. Якщо хочете перевірити ознаки, оберіть доступну пласку поверхню і за потреби використайте лінійку та кут аркуша.

Побутовий орнамент може містити квадратні й прямокутні елементи різних розмірів та орієнтацій. Дитина обирає одну ділянку, а дорослий питає, де в неї сторони. Не припускайте точності форми лише за декоративним зображенням.

На фотографії прямокутна грань через ракурс може виглядати як інший чотирикутник. Не робіть точного висновку про прямі кути предмета тільки за похилим знімком. Якщо предмет доступний, перевірте саму грань або розгляньте фронтальний малюнок як окреме представлення.

Не потрібно торкатися чужих речей під час пошуку фігур. Можна вказати на видимий контур і описати, що саме видно. Для вимірювання чи переміщення предмета запитайте дозвіл власника.

Коли дитина не погоджується з назвою

Дитина каже: «Це ромб, бо він повернутий кутом догори». На квадратній картці можна погодитися, що квадрат належить до ромбів, але уточнити: поворот сам по собі не є визначальною ознакою. Перевірте рівність сторін.

Якщо дитина каже: «Квадрат не прямокутник», поверніться до правила про чотири прямі кути. Покажіть кожен кут квадрата й порівняйте з кутом аркуша. Потім поясніть, що квадрат має додаткову властивість рівних сторін.

Якщо прямокутник 6 × 4 см названо квадратом, перевірте сусідні сторони. У цьому прикладі вони різні, тому не всі чотири сторони рівні. Не робіть висновку за тим, що одна сторона здається горизонтальною.

Якщо дитина сумнівається через неточний край паперу, це обґрунтована причина перевірити модель ще раз. Можна взяти креслярське зображення з позначеними розмірами або підготувати іншу картку. Не варто вимагати впевненості там, де матеріал її не дає.

Один учасник обирає вершину для перевірки, другий прикладає кут аркуша. Потім вони міняються ролями за бажанням. Обидва можуть ставити запитання; той, хто тримає інструмент, не повинен вирішувати замість іншого, яку вершину перевіряти.

Дитина може показати сторону поглядом, жестом або звичним засобом комунікації. Дорослий підтверджує, який край має на увазі учасник, перш ніж вимірювати. Фізичне тримання лінійки не є єдиним способом виконати завдання.

Якщо кольорові позначки погано розрізняються, скористайтеся різними формами, підписами чи великими картками. Поясніть, що допоміжна позначка визначає групу, а не змінює геометричну властивість фігури.

Для малювання можна покласти фігуру на аркуш і попросити дорослого обвести за вказівкою дитини. Дитина обирає розташування, перевіряє, чи відповідає контур зразку, та вирішує, які сторони підписати.

Що варто зафіксувати після перевірки

Конкретна нотатка може виглядати так: «Дитина показала чотири вершини прямокутника; дорослий тримав кут аркуша під час перевірки». У ній видно дію та підтримку, а не загальну оцінку здібностей.

Якщо дитина спочатку назвала повернутий квадрат ромбом, а потім перевірила прямі кути, можна записати обидві частини розмови. Оскільки квадрат належить до ромбів, сама назва «ромб» не обов’язково була помилкою.

Збережіть малюнок із підписами 4 × 4 та 6 × 4 як нагадування про конкретні приклади. Перед наступним порівнянням переконайтеся, чи використовуєте ті самі моделі. Новий квадрат іншого розміру має ті самі ознаки, але інші числові довжини.

Один успішний приклад не доводить, що дитина автоматично класифікуватиме кожен чотирикутник. Запропонуйте іншу орієнтацію або інший розмір, коли вона захоче, і знову назвіть ознаки, які перевіряєте.

Для нового прикладу запропонуйте квадрат 5 × 5 см і прямокутник 7 × 3 см. Спочатку запитайте, які дані відомі з умови, а які потрібно перевірити на паперовій моделі. Довжини в цьому прикладі відрізняються від попередніх.

У квадрата зі стороною 5 см усі чотири сторони за умовою однакові. У прямокутника 7 × 3 см сусідні сторони різні. Обидві задані геометричні фігури мають прямі кути; якість саморобної картки перевіряється окремо.

Якщо дитина зіставляє новий квадрат із попереднім, зверніть увагу: 4 см і 5 см — різні розміри, проте обидві фігури можуть бути квадратами. Назва не вимагає певної довжини, якщо всі сторони фігури рівні й кути прямі.

Після створення нових моделей підпишіть їх, щоб не сплутати із зразками 4 × 4 і 6 × 4 см. Якщо картки переплуталися, виміряйте відповідні сторони. Колір паперу може допомогти розрізнити зразки, але не замінює перевірки довжини.

Якщо замість паперу використано дерев’яні чи пластикові фігури, домовтеся, яку плоску грань розглядаєте. Товщина матеріалу є властивістю предмета. У цій вправі кількість сторін і кути стосуються контуру обраної грані.

Наприкінці попросіть дитину вибрати одну перевірку, яку вона хоче показати: вимірювання сторін, суміщення кута або поворот картки. Вибраний спосіб дасть інформацію про відповідну ознаку. Для повної класифікації можуть знадобитися й інші перевірки.

Якщо після огляду одного кута дитина вже назвала прямокутник, запропонуйте разом перевірити решту. Чотири прямі кути — правило для всієї фігури, а один зразок кута підтверджує лише перевірену вершину.

Коли один із кутів картки надто заокруглений, помітити точну вершину складно. Дорослий може замінити картку або показати накреслений контур. Сумнів щодо недосконалої моделі не потрібно трактувати як незнання геометричного означення.

Якщо дитина обрала порівняння периметрів, перевірте одиниці вимірювання всіх чотирьох сторін перед додаванням. Для вихідних моделей суми 16 см і 20 см відповідають довжинам їхніх контурів, а не кількості поверхні всередині.

Площу на клітинках визначають за домовленою одиничною клітинкою. Якщо сітка надрукована нерівномірно чи частина клітинок обрізана, підрахунок потребує додаткового уточнення. Для початкового порівняння квадратної та прямокутної форми цих обчислень не потрібно.

Продовження на BrainHunters

Якщо на BrainHunters доступна вправа з фігурами, прочитайте її справжню умову та розгляньте зображення. Завдання може просити знайти квадрат, порахувати сторони або порівняти контури; ці запитання мають різні критерії.

Після екранного завдання можна повернутися до двох паперових зразків і перевірити один із кутів. Дитина обирає, чи хоче продовжити. Один правильний вибір ще не показує, як вона впізнаватиме фігуру за всіх поворотів і розмірів.