Квадрат і прямокутник: спільні ознаки

Що будемо порівнювати

Прямокутник — це чотирикутник, у якого всі чотири кути прямі. У квадрата теж чотири прямі кути, а ще всі чотири сторони рівні за довжиною. Тому квадрат відповідає означенню прямокутника і є його окремим випадком. Прямокутник із неоднаковими довжинами сусідніх сторін квадратом не є.

Для першої гри візьміть два паперові вирізи: квадрат і прямокутник, помітно довший з одного боку. Дорослий може підготувати їх заздалегідь, використовуючи лінійку й зручний спосіб перевірити прямі кути. Різні кольори допомагають розрізнити картки, але колір не є ознакою квадрата або прямокутника. Якщо кольори незручні для сприйняття, додайте різні позначки чи фактури.

Важливо, щоб учасники домовилися про предмет порівняння. У звичайній розмові слово «прямокутник» іноді вживають для видовженої фігури окремо від квадрата. У геометричному означенні квадрат також має чотири прямі кути й тому належить до прямокутників. Можна сказати: «Порівняймо квадрат і прямокутник, який не є квадратом», щоб не приховувати цей зв’язок.

Дитина може розглядати фігури, торкатися їхніх безпечних країв, вказувати на частини або просити дорослого пересунути картку. Для зручності покладіть фігури на стійку контрастну поверхню чи зробіть рельєфний контур із придатного матеріалу. Вибирайте спосіб дослідження разом із дитиною; не потрібно вимагати малювання чи усної відповіді для кожного кроку.

Почніть з одного запитання: «Скільки сторін має ця фігура?» або «Що спільного ти помічаєш?» Одного спостереження достатньо для короткої гри. Якщо дитина хоче продовжити, можна порівняти кути й довжини; якщо ні — залишити інші запитання на потім. Мета полягає в зрозумілому дослідженні, а не в запам’ятовуванні всіх визначень за один раз.

Знайдіть сторони, вершини та кути

Покладіть квадрат перед собою і проведіть пальцем уздовж його межі. Кожен прямий відрізок межі — сторона. На кожному переході до наступної сторони є вершина. Обійшовши фігуру по колу, можна знайти чотири сторони й чотири вершини. Щоб не порахувати одну двічі, позначте початок маленькою знімною наліпкою або тримайте палець біля першої вершини.

Зробіть те саме з видовженим прямокутником. Він також має чотири сторони й чотири вершини. Одна фігура може займати більше місця на столі, але її розмір сам по собі не змінює кількості сторін. Дитина може показувати межу, а партнер рахуватиме, або навпаки; домовтеся, коли починається новий відрізок.

Словом «кут» у цій грі називаємо кут усередині фігури біля вершини. Прямий кут зручно порівняти з кутом прямокутного аркуша паперу: прикладіть кут аркуша до вершини так, щоб обидві сторони орієнтира збіглися з напрямками сторін фігури. Перевірте всі чотири кути. У підготовлених квадрата й прямокутника вони прямі.

Паперовий орієнтир має бути достатньо точним. Відірваний навскіс край або зім’ятий кутик може не дати надійного порівняння. Не притискайте фігуру так, щоб змінити її форму, і переконайтеся, що вершини орієнтира та картки суміщені. Для ознайомлення достатньо прикласти кутик разом; за потреби дорослий допоможе утримати матеріали.

Кут не стає більшим лише тому, що сторони на малюнку довші. Можна порівняти куточок маленької картки й куточок великого аркуша: якщо обидва прямі, їхній розмір як кутів однаковий, хоча довжини сторін різні. Тут «розмір кута» описує поворот між напрямками сторін, а не площу паперу біля вершини.

Якщо дитина каже «кутів п’ять», попросіть показати кожен, не оголошуючи відповідь помилковою до перевірки. Можливо, вона двічі повернулася до початкової вершини або порахувала позначку на папері. Спільний обхід із відміченим початком допоможе з’ясувати, що саме було враховано. Чотири кути означають чотири окремі вершини цієї фігури.

Порівняйте довжини сторін

На квадраті виберіть одну сторону й порівняйте її із сусідньою. Можна прикласти до першої паперову смужку, позначити на ній кінці відрізка й перенести смужку до другої. Якщо кінці збігаються, сторони однакової довжини в межах точності такого порівняння. Повторіть із рештою сторін: у квадрата всі чотири рівні.

На прямокутнику, який не є квадратом, дві сусідні сторони мають різні довжини. Сторони, що лежать одна навпроти одної, рівні попарно. Порівняйте спочатку дві сусідні, а потім протилежні, показуючи кожну з них. Слова «сусідні» й «протилежні» варто прив’язати до конкретного вирізу: сусідні сторони зустрічаються у вершині, а протилежні не мають спільної вершини.

Наприклад, паперовий прямокутник може мати сторони завдовжки 2 см і 4 см. Його дві коротші сторони по 2 см, а дві довші — по 4 см. У квадрата зі стороною 3 см кожна з чотирьох сторін має довжину 3 см. Це приклади для гри, а не обов’язкові розміри: фігури можуть бути більшими чи меншими.

Лінійка допоможе, якщо учасники хочуть використовувати числа. Прикладіть її вздовж сторони й переконайтеся, що початок вимірювання суміщено з нульовою позначкою, а не обов’язково з краєм лінійки. Значення 2 см і 4 см легко порівняти. Якщо виріз зроблений неточно, результат буде наближеним; краще назвати похибку, ніж удавати, що нерівні сторони ідеально збігаються.

Порівняння без чисел теж можливе. Прикладіть паперову смужку вздовж одного ребра й позначте його довжину, а потім перевірте іншу сторону. Дорослий може тримати смужку, а дитина показувати кінці або вибирати, яку сторону перевіряти наступною. Важливо не розтягувати смужку та не згинати її так, щоб змінити відстань між позначками.

Не робіть висновок про квадрат лише з рівності двох сусідніх сторін. Потрібно врахувати всі чотири сторони й прямі кути. Наприклад, похилий ромб може мати всі сторони рівними, але його кути не обов’язково прямі. Так само чотири прямі кути самі по собі описують прямокутник, але не гарантують рівності всіх його сторін.

Можна перевірити порівняння сторін у зворотному напрямку. Позначте на смужці довжину коротшої сторони прямокутника й прикладіть її до довшої: якщо межа картки продовжується за позначкою, друга сторона довша. Потім порівняйте дві короткі протилежні сторони. Важливо кожного разу суміщати початкову позначку з тією самою вершиною, інакше невеликий зсув спотворить результат.

Для квадрата перевірте не лише протилежні, а й сусідні сторони. У звичайного видовженого прямокутника протилежні сторони рівні, тому лише цієї перевірки недостатньо, щоб назвати його квадратом. Порівняння сусідніх сторін у поєднанні з уже перевіреними прямими кутами допомагає розрізнити два підготовлені вирізи. Якщо картки зроблені приблизно, називайте висновок наближеним.

Поверніть фігуру й перевірте ознаки знову

Покладіть квадрат так, щоб одна його сторона була паралельна краю столу, а потім поверніть картку навскіс. Вона виглядає інакше відносно столу, але її сторони не змінили довжини, а кути залишилися прямими. Отже, це той самий квадрат. Дитина може сама повернути картку або показати партнеру напрямок повороту.

У побуті повернутий квадрат іноді називають «ромбиком» через зовнішній вигляд. Квадрат справді має чотири рівні сторони, але поворот не робить його кути непрямими. Замість суперечки про побутове слово перевірте геометричні ознаки: чотири рівні сторони та чотири прямі кути. Вони підтверджують, що перед вами квадрат у новому положенні.

Поверніть також видовжений прямокутник. Сторона, яка була горизонтальною, може стати вертикальною, але довша сторона залишиться такою самою за довжиною. Пара довгих і пара коротких сторін зберігаються, як і прямі кути. Розташування «горизонтально» чи «вертикально» залежить від орієнтира, наприклад краю столу; це не окрема властивість форми.

Переміщення картки в інше місце столу також не змінює її форми. Інша дія — розрізати, зігнути або розтягнути матеріал: тоді сама фігура чи її зображення можуть змінитися. Щоб досліджувати лише поворот, беріть жорсткішу картку або пересувайте папір так, щоб він не складався. Це допоможе не змішувати різні зміни.

Запропонуйте гру з двома однаковими квадратними картками: одну поверніть, а іншу залиште. Чи можна накласти їх так, щоб контури збіглися? Спочатку, можливо, доведеться повернути одну назад. Збіг контурів демонструє, що в цих двох конкретних карток однакові форма й розмір. Квадрати різних розмірів також є квадратами, хоча при накладанні їхні контури не збігатимуться повністю.

Якщо дитина впізнає лише картинку зі стороною внизу, запропонуйте кілька положень однієї й тієї самої картки. Не потрібно наполягати на швидкій назві: нехай дитина обведе сторони, прикладе кутик паперу або порівняє довжини. Ознаки залишаються перевірними незалежно від того, під яким кутом лежить виріз.

Поворот можна описати без вимірювання градусів: «Картка лежала стороною вздовж краю аркуша, а тепер її вершина спрямована вгору». Після опису знайдіть ту саму позначену сторону й порівняйте її з паперовою смужкою. Такий слід допомагає простежити, що змінилося положення, а не довжина сторони. Напрямок «угору» тут стосується аркуша, який лежить перед учасниками.

Якщо двоє сидять навпроти, їхні вказівки «ліворуч» і «праворуч» можуть відрізнятися. Домовтеся показувати конкретну вершину або користуватися кольоровою міткою. Мітка не є новою вершиною і не змінює властивостей картки; вона лише допомагає обом стежити за однією стороною. Після повороту знайдіть цю мітку ще раз.

Три досліди з папером і перевіркою припущень

Перший дослід починається з паперового прямокутника, довшого з одного боку. Позначте дві сусідні сторони різними рисочками, щоб запам’ятати, які саме порівнюєте. Прикладіть смужку спочатку до однієї, потім до другої. Якщо друга сторона довша, фігура не є квадратом. Після цього перевірте паперовим прямим кутом її вершини: довгі й короткі сторони не заважають усім чотирьом кутам бути прямими.

Другий дослід присвячений повороту. Покладіть квадратну картку на аркуш і обведіть її. Поверніть картку на місці, не згинаючи, та обведіть ще раз іншим олівцем. Контури можуть не збігатися через різне положення, хоча це та сама картка. Поверніть її назад і перевірте збіг з першим контуром. Тонкий контур і нерухомий аркуш роблять порівняння зрозумілішим.

У третьому досліді візьміть два квадрати різних розмірів. Покладіть малий на великий: їхні межі повністю не збігаються, але кожен окремо може мати рівні сторони й прямі кути. Зробіть висновок, що слово «квадрат» описує властивості форми, а не одну обов’язкову довжину. Для перевірки розміру порівняйте відповідні сторони; для перевірки назви розгляньте ознаки кожної фігури.

Перед кожним дослідом можна висловити припущення: «Після повороту сторони залишаться рівними» або «Ці картки повністю збігатимуться при накладанні». Потім виконайте дію й порівняйте результат. Не всі припущення мають підтвердитися. Якщо великі й малі квадрати не збігаються, це не робить малий виріз неправильною фігурою; це показує різницю в розмірах.

Дозвольте дитині змінити порядок дій. Вона може спершу повернути картку й лише потім обвести її, або перевірити кути перед сторонами. Партнер записує чи описує те, що справді зроблено. Коли результат несподіваний, перевірте, чи не змістився аркуш і чи не загнувся край. Такі деталі стосуються способу перевірки, а не старанності учасника.

Якщо користуватися олівцем незручно, дорослий може обвести картку за вказівкою дитини, а дитина — вибрати положення й показати, який контур треба порівняти. Інша можливість — дві картки з рельєфним краєм, придатні для дослідження дотиком. Важливо, щоб дитина мала доступ до інформації, на підставі якої пропонується робити висновок.

Можна також порівняти паперові кутики без числового вимірювання: прикласти один до іншого, сумістивши вершини та один промінь уздовж сторони. Якщо другі напрямки збігаються, кути збігаються за величиною в межах точності моделей. Розмір самого аркуша при цьому не визначає величину кута. Дорослий допомагає утримати папір, якщо дитині так зручніше.

Якщо дитина називає будь-який чотирикутник квадратом, поверніться до конкретних перевірок без поспіху. Сторони можна перелічити, кути порівняти з паперовим орієнтиром, а довжини — зі смужкою. Замість вимоги повторити визначення попросіть показати одну властивість. Після спільної перевірки фігуру можна відкласти або використати для вільної композиції.

Порівняйте приклади й фігури, які не підходять

Поруч із квадратом і видовженим прямокутником можна покласти трикутник. У трикутника три сторони та три кути, тому він не є чотирикутником. Обведіть межу кожної фігури, позначаючи початок. Порівнюйте кількість сторін, а не назви кольорів чи розміри карток.

Інший приклад — чотирикутник із похилими сторонами, у якого немає чотирьох прямих кутів. Він має чотири сторони, але за цією ознакою ще не обов’язково є прямокутником. Прикладіть паперовий прямий кут до його вершин. Якщо хоча б один внутрішній кут не прямий, фігура не відповідає означенню прямокутника.

Ромб із чотирма рівними сторонами та непрямими кутами дозволяє перевірити іншу умову квадрата. Рівності сторін недостатньо: усі кути також мають бути прямими. Натомість квадрат має і чотири рівні сторони, і чотири прямі кути. Для маленької дитини достатньо помітити, що дві фігури відрізняються формою куточків, без запам’ятовування нової назви.

Покладіть кілька прямокутних карток різних розмірів, серед них один квадрат. Запропонуйте знайти всі фігури з чотирма прямими кутами. Квадрат теж потрапить до цієї групи. Потім серед вибраних карток можна знайти ту, у якої всі сторони рівні. Так два запитання про різні ознаки дають дві пов’язані, але не тотожні групи.

Якщо ж завдання просить розкласти картки у дві неперетинні купки, домовтеся про назви: «квадрати» та «прямокутники, що не є квадратами». Тоді кожна з підготовлених прямокутних карток матиме одне місце в цій домовленості. Не називайте другу купку просто «всі прямокутники», бо квадрати теж відповідають цьому означенню.

Можна обговорити межі макета. Намальовані від руки лінії бувають кривими, а товстий контур ускладнює вимірювання. Якщо картка приблизно зображує квадрат, назвіть її малюнком квадрата й за потреби перевірте точніше підготовлений виріз. Для першої гри важливі зрозумілі приклади; точність вимірювань можна досліджувати поступово.

Для сортування підготуйте картки з помітно різними прикладами: квадрат, видовжений прямокутник, трикутник і чотирикутник з одним непрямим кутом. Попросіть знайти фігури з чотирма сторонами. До цієї групи належатиме й останній чотирикутник, хоча він не є прямокутником. Після цього можна поставити інше запитання — у яких з них усі кути прямі.

Якщо дитина поклала квадрат окремо від прямокутників, запитайте, за яким правилом вона сортувала. Можливо, вона утворила зручні групи «квадрати» та «видовжені прямокутники». Це правило можна зрозуміти й використати, уточнивши назви. Інше завдання — знайти всі фігури з прямими кутами — охоплює квадрат також. Одна й та сама картка може належати до різних груп за різними ознаками.

Не варто покладатися лише на колір під час сортування. Якщо всі квадрати сині, а всі інші прямокутники червоні, дитина може обрати за кольором, навіть коли дорослий запитує про кути. Змішайте кольори або скористайтеся одноколірними картками. Якщо ж колір є корисною підказкою для доступу, домовтеся про його роль і перевіряйте форму іншим зручним способом.

Картка з чотирма сторонами не завжди є правильно підготовленим прикладом для порівняння кутів. Якщо кут трохи зім’явся, прикласти орієнтир може бути складно. Замініть картку або використайте чітко намальований контур і назвіть обмеження перевірки. Відмінність між неточним паперовим вирізом і геометричним означенням допомагає чесно обговорювати результат.

Довжина межі й площа: додаткові запитання для охочих

Коли сторони вже знайомі, можна обвести пальцем усю межу прямокутника. Загальна довжина його сторін називається периметром. Для прямокутника зі сторонами 2 см і 4 см сума довжин становить 2 + 4 + 2 + 4 = 12 см. Дві двійки й дві четвірки враховують усі чотири сторони. Це додаткова ідея, а не умова впізнавання фігури.

Для квадрата зі стороною 3 см периметр також дорівнює 3 + 3 + 3 + 3 = 12 см. Однаковий периметр не означає однакової форми: приклади 2 на 4 см і 3 на 3 см мають різні довжини сусідніх сторін. Їхні контури не збігатимуться при накладанні, хоча довжина обох меж однакова.

Площу цих прямокутників можна дослідити на сітці однакових квадратних клітинок зі стороною 1 см. Прямокутник 2 на 4 см складається з двох рядів по чотири клітинки, тобто з восьми квадратних сантиметрів. Квадрат 3 на 3 см містить три ряди по три клітинки, тобто дев’ять квадратних сантиметрів. У цих двох прикладів однаковий периметр, але різні площі.

Не обов’язково одразу вводити формули. Дитина може покласти однакові паперові квадратики без проміжків і перекриття всередині картки та полічити їх. Для наведених прикладів розміри точно відповідають цілим клітинкам. Якщо картка не вкладається в сітку без частин клітинок, простий підрахунок лише цілих клітинок не дасть точної площі; залиште таке вимірювання на інший раз.

Одиниці також відповідають запитанню. Довжину сторони чи периметр у прикладі записують у сантиметрах, а площу — у квадратних сантиметрах. Число 12 у першому випадку та число 8 у другому не описують одну й ту саму властивість. Дитина може поки говорити «довжина краю» і «скільки клітинок усередині», якщо ці слова допомагають розрізнити досліди.

Порівняйте два однакові паперові квадрати, повернувши один із них. Його периметр і площа не зміняться від самого повороту. Якщо ж розрізати картку або перекрити її частину іншою, потрібно окремо визначити, яку фігуру вимірюємо. Поворот готової фігури й зміна її межі — різні дії, тому висновок для однієї не можна автоматично переносити на іншу.

Знайдіть геометричні форми навколо себе

Обкладинка книжки, поверхня плитки чи аркуш паперу можуть нагадувати прямокутник. Попросіть дитину показати саме поверхню або її контур: книжка як предмет об’ємна, а її обкладинка має плоску поверхню, яку зручно порівнювати з фігурою. Закруглені кути чи декоративна рамка можуть відрізнятися від точного геометричного прямокутника.

Квадратна серветка або плитка може бути прикладом квадрата, якщо її чотири сторони рівні й кути прямі. Не кожен предмет, який виглядає квадратним здалеку, обов’язково має точні розміри. За бажанням порівняйте сторони смужкою паперу. Якщо виміряти незручно, чесно скажіть: «Ця поверхня схожа на квадрат», не перетворюючи припущення на доведений факт.

Візерунок на рушнику чи вишивці може містити повторювані квадратні або прямокутні елементи. Дитина вибирає один мотив, а дорослий допомагає простежити його контур. Орнамент може складатися з окремих стібків, тому контур іноді лише нагадує геометричну фігуру. Не потрібно торкатися крихких чи цінних речей: розгляд з відстані також підходить.

На прогулянці можна помітити вікно чи табличку, що нагадує прямокутник. Перспектива здатна змінити вигляд: прямокутна поверхня під кутом зору може здаватися похилою. Не варто ставити дитині завдання вимірювати недоступний предмет. Краще назвати те, що видно, і за бажанням порівняти з паперовою карткою вдома.

Попросіть дитину створити малюнок будинку з вирізаних фігур. Прямокутник може стати дверима, квадрат — вікном, а трикутник — умовним дахом. Це художня домовленість: справжні будинки мають об’єм, а їхні частини можуть бути іншої форми. Дитина вирішує, де розташувати картки й чи хоче вона давати їм назви.

Спільне дослідження можна завершити запитанням «Яку ознаку ти хочеш перевірити наступного разу?» Можливо, дитина обере кількість кутів, порівняння сторін або гру з поворотом. Вона може також просто зберегти малюнок чи прибрати картки. Одна відповідь не визначає всі її геометричні уявлення; важливий доступний спосіб спробувати й поставити власне запитання.

У малюнку будинку двері можна скласти з двох прямокутних деталей, а вікно — з чотирьох маленьких квадратів. Перед тим як рахувати, домовтеся, чи йдеться про окремі вирізані деталі, чи про всі квадрати, які можна побачити в складеному візерунку. Великий контур із чотирьох частин теж може бути квадратом. Це вже інше запитання, ніж підрахунок окремих паперових карток.

Ще одна гра — описати фігуру партнеру, не показуючи її. Дитина може сказати або показати на схемі: «Чотири прямі кути, усі сторони рівні». Партнер обирає картку, а потім обидва звіряють властивості. Якщо опис включає лише «чотири сторони», підійти може більше ніж один виріз. Додаткова ознака допомагає уточнити вибір, а не робить початковий опис марним.

Коли дитина хоче перевірити картку самостійно, дорослий може запропонувати вибір інструмента: паперовий кутик, смужку з позначками або лінійку. Кожен інструмент відповідає на своє запитання: кутик допомагає порівняти кут, а смужка — довжини відрізків. Обраний засіб і спосіб його використання можна обговорити до висновку.

Після гри достатньо зберегти одну конкретну знахідку: наприклад, квадрат залишився квадратом після повороту, або видовжений прямокутник мав дві пари рівних протилежних сторін. Дитина може показати картку замість переказу. Нотатка дорослого про використану підказку допоможе підготувати наступне запрошення, але не є оцінкою загальних здібностей.

Наприкінці дозвольте дитині обрати, яку картку зберегти для наступної гри. На ній можна позначити одну вершину або сторону, щоб пізніше продовжити спостереження з того самого місця.

Для наступної зустрічі підійде й новий малюнок, якщо дитина сама його обере.