Quadrat und Rechteck: gemeinsame Merkmale

Was Quadrat und Rechteck verbindet

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Ein Quadrat hat ebenfalls vier rechte Winkel; zusätzlich sind alle vier Seiten gleich lang. Damit erfüllt jedes Quadrat die Definition eines Rechtecks. Ein Rechteck mit unterschiedlich langen benachbarten Seiten ist dagegen kein Quadrat.

Im Alltag wird das Wort «Rechteck» manchmal nur für längliche Formen verwendet. Für dieses Spiel ist die Unterscheidung «Quadrat» und «Rechteck, das kein Quadrat ist» genauer. Suchen Sie später alle Figuren mit vier rechten Winkeln, gehört das Quadrat mit dazu. Suchen Sie unter diesen Figuren diejenigen mit vier gleich langen Seiten, bleibt das Quadrat in der Auswahl.

Bereiten Sie zwei Papierformen vor: ein Quadrat und ein deutlich längliches Rechteck. Eine erwachsene Person kann sie mit Lineal und einer geeigneten Vorlage für rechte Winkel anfertigen. Unterschiedliche Farben helfen bei der Zuordnung, sind aber keine geometrische Eigenschaft. Wer Farben nicht gut unterscheiden kann, kann andere Markierungen oder geeignete tastbare Konturen verwenden.

Das Kind kann eine Form drehen, ihren Rand verfolgen, auf eine Seite zeigen oder eine andere Person um eine Bewegung bitten. Auch eine Beschreibung durch einen Partner oder ein Kommunikationsgerät kann Teil des Spiels sein. Wählen Sie Material und Unterstützung passend zum Kind. Eine Figur selbst auszuschneiden oder ihren Namen sofort auszusprechen ist keine Voraussetzung.

Beginnen Sie mit einer kleinen Frage: «Wie viele Seiten hat diese Form?» oder «Was fällt dir an beiden Stücken auf?» Das Kind kann zunächst nur einen Rand zeigen. Ob Sie anschließend Winkel, Längen oder Drehungen betrachten, entscheiden die Beteiligten gemeinsam. Eine kurze Untersuchung reicht; die gesamte Liste an Möglichkeiten muss nicht an einem Tag ausprobiert werden.

Seiten, Ecken und rechte Winkel untersuchen

Legen Sie das Quadrat auf eine feste Unterlage und verfolgen Sie seinen Rand. Jeder gerade Abschnitt zwischen zwei Ecken ist eine Seite. Markieren Sie den Startpunkt mit einem ablösbaren Papierstück und zählen Sie beim Umfahren die vier Seiten. An jeder Ecke treffen zwei benachbarte Seiten zusammen. Die Startmarkierung hilft, die erste Ecke beim Zurückkehren nicht ein zweites Mal zu zählen.

Wiederholen Sie den Rundgang am länglichen Rechteck. Auch dort lassen sich vier Seiten und vier Ecken finden. Eine Form kann größer sein als die andere, ohne mehr Seiten zu haben. Eine Person kann zeigen und die andere zählen; Rollen lassen sich nach Wunsch tauschen. Wenn ein Kind lieber beobachtet oder einen Partner anleitet, ist das ebenso eine Beteiligung.

Den rechten Innenwinkel können Sie mit einer geeigneten rechtwinkligen Ecke eines Blatts vergleichen. Legen Sie die Ecke der Vorlage auf eine Ecke der Papierfigur und richten Sie beide Schenkel an den angrenzenden Seiten aus. Stimmen die Richtungen überein, passt der rechte Winkel als Vergleich. Prüfen Sie die vier Ecken der beiden vorbereiteten Formen einzeln.

Ein eingerissener oder schräg abgeschnittener Papierrand ist kein verlässlicher Winkelprüfer. Wählen Sie eine möglichst genaue Vorlage und achten Sie darauf, dass die Ecken beim Anlegen zusammenliegen. Bei einem selbst ausgeschnittenen Modell sind kleine Abweichungen möglich; beschreiben Sie das Ergebnis dann als ungefähr. Das geometrische Rechteck ist die genaue Form, die Papierkarte ein Modell davon.

Die Länge der gezeichneten Schenkel bestimmt nicht die Größe des Winkels. Eine kleine rechtwinklige Ecke kann zu einer großen rechtwinkligen Ecke passen, obwohl ihre Seitenstücke kürzer sind. Verglichen wird die Öffnung beziehungsweise Richtung der Schenkel, nicht die Papierfläche um die Ecke. Das lässt sich mit einem kleinen Kärtchen und einem großen Blatt zeigen.

Nennt ein Kind beim Umfahren fünf Ecken, fragen Sie, welche Punkte es gezählt hat. Möglicherweise wurde der Startpunkt am Ende erneut mitgezählt oder eine Markierung als Ecke verstanden. Ein gemeinsamer zweiter Rundgang kann die vier verschiedenen Ecken sichtbar machen. Die Antwort ist ein Anlass, den Zählweg zu prüfen, kein Urteil über die Aufmerksamkeit des Kindes.

Benachbarte und gegenüberliegende Seiten vergleichen

Wählen Sie am Quadrat eine Seite aus und legen Sie einen Papierstreifen daran. Markieren Sie Anfang und Ende der Seite auf dem Streifen und übertragen Sie diese Länge an eine benachbarte Seite. Stimmen die Endpunkte im Rahmen der Genauigkeit Ihres Modells überein, sind die beiden Seiten gleich lang. Vergleichen Sie auf Wunsch auch die beiden übrigen Seiten.

Benachbarte Seiten treffen sich an einer Ecke. Gegenüberliegende Seiten liegen einander gegenüber und teilen keine Ecke. Am länglichen Rechteck können Sie zunächst zwei benachbarte Seiten vergleichen: Eine ist länger als die andere. Die jeweils gegenüberliegenden Seiten haben gleiche Länge. Zeigen Sie beim Benennen auf die konkreten Seiten, damit die Begriffe nicht nur abstrakt bleiben.

Ein Beispiel: Ein Rechteck kann Seitenlängen von 2 cm und 4 cm haben. Zwei gegenüberliegende Seiten sind dann jeweils 2 cm lang, die anderen beiden jeweils 4 cm. Ein Quadrat mit 3 cm Seitenlänge hat dagegen vier Seiten von je 3 cm. Die Zahlen dienen nur zur Veranschaulichung; andere Abmessungen sind ebenso möglich.

Beim Messen mit einem Lineal legen Sie die Nullmarkierung an den Seitenanfang. Der äußere Rand des Lineals und die Nullmarke liegen nicht bei jedem Lineal an derselben Stelle. Lesen Sie das Ende der Seite ab und nennen Sie die Einheit. Falls das Kind keine Zahlen verwenden möchte, lässt sich die Länge auch mit einem markierten Papierstreifen vergleichen.

Vier gleich lange Seiten allein reichen nicht für ein Quadrat. Eine Raute kann vier gleich lange Seiten haben, ohne vier rechte Winkel zu besitzen. Umgekehrt reichen vier rechte Winkel für die Bezeichnung Rechteck, aber nicht für ein Quadrat: Bei einem länglichen Rechteck sind benachbarte Seiten unterschiedlich lang. Beide Merkmale beantworten also verschiedene Fragen.

Ein Kind muss diese Begriffe nicht sofort aufsagen. Es kann zeigen, dass alle Quadratseiten zur markierten Länge passen, oder die Prüfecke anlegen. Ein Partner beschreibt, was er dabei versteht, und fragt bei Bedarf nach. Das Ergebnis der Handlung ist ein möglicher Beitrag; eine vollständige mündliche Definition ist für das gemeinsame Erkunden nicht zwingend.

Beim Vergleichen mit einem Streifen können Sie den Beginn der gemessenen Seite markieren und den Streifen an der zweiten Seite an derselben Stelle ansetzen. Ein verschobener Anfangspunkt kann eine falsche Differenz vortäuschen. Wenn der Streifen knickt oder verrutscht, wiederholen Sie den Vergleich mit Unterstützung oder nennen Sie das Ergebnis ungefähre Beobachtung. Die Prüfung selbst darf besprochen werden.

Eine rechteckige Karte kann zwei lange und zwei kurze Seiten haben, doch die Bezeichnungen hängen vom Vergleich ab. Bei einem Quadrat gibt es keine längere Seite innerhalb derselben Figur. Ein Quadrat kann trotzdem längere Seiten haben als ein kleines Rechteck. Benennen Sie deshalb, welche Seiten welcher Karten miteinander verglichen werden.

Drehen, ohne die Form zu verändern

Legen Sie das Quadrat zunächst so, dass eine Seite ungefähr parallel zur Tischkante liegt. Drehen Sie die Karte anschließend schräg. Die Seiten sind weiterhin gleich lang und die Innenwinkel weiterhin recht. Das Stück liegt anders, seine Form hat sich durch die bloße Drehung nicht verändert. Lassen Sie das Kind die Bewegung selbst ausführen oder einem Partner zeigen, wie weit er drehen soll.

Ein schräg liegendes Quadrat wird im Alltag gelegentlich als «Raute» beschrieben. Ein Quadrat hat tatsächlich vier gleich lange Seiten, aber die Drehung macht seine rechten Winkel nicht schief. Prüfen Sie die Eigenschaften statt nur die Lage zur Tischkante. So lässt sich sagen: Es ist weiterhin ein Quadrat, auch wenn eine Ecke nach oben zeigt.

Drehen Sie auch das längliche Rechteck. Was zuvor waagerecht erschien, kann nun senkrecht liegen; die längeren Seiten bleiben dieselben Seiten. Die Beschreibung «oben» oder «links» hängt von Lage und Blickrichtung ab. Die Seitenlängen und Innenwinkel der unveränderten Karte hängen nicht davon ab, wie sie auf dem Tisch ausgerichtet ist.

Zwei gleich große Papierquadrate können zum Vergleich übereinandergelegt werden. Drehen Sie eines zunächst anders und richten Sie es dann so aus, dass die Konturen zusammenfallen. Das zeigt für diese beiden konkreten Karten gleiche Form und gleiche Größe. Ein kleineres Quadrat bleibt ebenfalls ein Quadrat, auch wenn es den Rand eines größeren nicht vollständig bedeckt.

Achten Sie darauf, beim Drehen die Karte nicht zu falten. Ein gefaltetes Papier zeigt anschließend eine andere sichtbare Form; das ist eine weitere Handlung und keine bloße Drehung. Wenn das Papier sehr dünn ist, kann eine festere Karte helfen. Das Kind kann auch einem Partner sagen, wann er die Bewegung stoppen soll.

Für einen Vergleich auf Papier können Sie eine Karte zweimal umfahren: einmal gerade, einmal gedreht. Zwei Umrisse liegen dann möglicherweise über Kreuz. Markieren Sie, welcher zu welcher Lage gehört, und legen Sie die ursprüngliche Karte jeweils wieder passend auf. Eine Zeichnung mit dicken Linien ist nur so genau wie das Umfahren; das darf beim Prüfen angesprochen werden.

Drei Untersuchungen mit Papier

Für die erste Untersuchung legen Sie ein Quadrat auf ein Blatt und markieren zwei benachbarte Seiten mit unterschiedlichen kleinen Zeichen. Vergleichen Sie ihre Längen mit einem Streifen. Wiederholen Sie das an einem länglichen Rechteck. Halten Sie die Ergebnisse nebeneinander fest: Beim Quadrat stimmen die beiden ausgewählten Seiten überein; beim sorgfältig vorbereiteten länglichen Rechteck sind sie verschieden lang. Die Winkel werden dabei noch nicht durch den Längenvergleich geprüft.

Für die zweite Untersuchung prüfen Sie dieselben Karten mit einer rechtwinkligen Papierecke. Setzen Sie die Spitze der Vorlage auf jede Ecke und richten Sie die Schenkel an den benachbarten Seiten aus. Wenn das Papier nicht exakt zugeschnitten ist, kann die Überprüfung nur eine Näherung liefern. Besprechen Sie, ob die sichtbare Abweichung vom Modell oder vom Anlegen stammen könnte, statt ein exaktes Messergebnis vorzutäuschen.

Für die dritte Untersuchung markieren Sie eine Seite des Quadrats mit einem ablösbaren Punkt und drehen die Karte. Suchen Sie dieselbe markierte Seite nach der Drehung wieder und vergleichen Sie sie erneut mit dem Streifen. Ihre Lage hat sich geändert, ihre Länge nicht. Die Markierung gehört zur Karte und wandert mit ihr; sie kennzeichnet keinen festen Punkt auf dem Tisch.

Vor einer Handlung kann das Kind eine Vermutung äußern: «Nach dem Drehen ist die markierte Seite noch genauso lang.» Es darf die Frage auch ohne Vorhersage direkt ausprobieren. Danach beschreiben die Beteiligten die Beobachtung. Eine falsche Vermutung ist kein misslungener Versuch, sondern lässt sich mit dem sichtbaren Ergebnis vergleichen. Niemand muss seine ursprüngliche Aussage nachträglich ändern.

Wenn ein Partner die Karte hält, kann das Kind bestimmen, welche Ecke geprüft wird und wann der Streifen angelegt werden soll. Der Partner beschreibt seine Handlung und wartet auf Bestätigung. Eine andere Möglichkeit sind ausreichend große, tastbare Formen, sofern diese für das Kind geeignet sind. Es gibt keinen Zwang, alle Untersuchungen mit derselben Wahrnehmungs- oder Bewegungsform durchzuführen.

Ein Protokoll kann aus zwei Zeichnungen und einem Satz bestehen: «Vor dem Drehen» und «nach dem Drehen». Ein Punkt zeigt dieselbe markierte Seite. Wenn die Umrisse unterschiedlich groß gezeichnet wurden, lässt sich daraus allein keine genaue Längenänderung ablesen; dafür bleibt der Vergleich an der unveränderten Karte wichtig. Das Kind kann die Zeichnung erstellen, diktieren oder auf eine Aufzeichnung verzichten.

Soll die Karte beim Umfahren nicht verrutschen, kann ein Partner sie auf Wunsch festhalten. Fragen Sie, wo seine Hand liegen darf, damit sie die zu prüfende Seite nicht verdeckt. Wird die Karte dennoch verschoben, setzen Sie sie an die vereinbarte Stelle zurück oder beginnen Sie den Umriss erneut. Ein sichtbarer Fehler im Aufbau ist eine Information über die Messung, keine Eigenschaft des Kindes.

Sortieren und begründen

Legen Sie ein Quadrat, ein längliches Rechteck, ein Dreieck und ein schiefwinkliges Viereck bereit. Fragen Sie zunächst nach Figuren mit vier Seiten. Dazu gehören die beiden rechteckigen Formen und das vorbereitete schiefwinklige Viereck; das Dreieck hat drei Seiten. Die Anzahl der Seiten allein sagt noch nicht, ob alle Winkel recht sind.

Fragen Sie anschließend, welche der vierseitigen Figuren vier rechte Winkel haben. Bei sorgfältig vorbereiteten Beispielen sind das das Quadrat und das längliche Rechteck. Die Prüfecke hilft beim Vergleich. Wählen Sie danach unter diesen Figuren diejenige mit vier gleich langen Seiten: das Quadrat. Jedes Sortieren benutzt eine ausdrücklich genannte Eigenschaft.

Wenn Sie zwei getrennte Stapel wünschen, nennen Sie sie «Quadrate» und «Rechtecke, die keine Quadrate sind». Damit wird nicht behauptet, ein Quadrat sei kein Rechteck. Bei der Frage nach allen Rechtecken gehört das Quadrat ebenfalls dazu. Ein Kind kann mitlegen, zeigen oder einem Partner erklären, wo eine Karte liegen soll.

Ein schiefes Viereck kann auf den ersten Blick ähnlich aussehen wie ein gedrehtes Rechteck. Der Unterschied liegt nicht darin, ob seine Seiten waagerecht stehen, sondern in den Innenwinkeln. Legen Sie die Prüfecke an. Schon ein nicht rechter Innenwinkel genügt, damit das vorbereitete Viereck die Definition des Rechtecks nicht erfüllt.

Eine Raute mit gleich langen Seiten und schiefen Winkeln erlaubt eine andere Gegenüberstellung. Sie teilt mit dem Quadrat die Gleichheit der Seiten, aber nicht alle Winkel. Umgekehrt hat ein längliches Rechteck vier rechte Winkel wie das Quadrat, jedoch nicht vier gleich lange Seiten. Die gemeinsamen und unterschiedlichen Eigenschaften können an den Karten gezeigt werden, ohne dass jede neue Bezeichnung gelernt werden muss.

Fragen Sie bei einer unerwarteten Sortierung nach dem verwendeten Kriterium. Vielleicht hat das Kind nach Farben oder Größen sortiert, während Sie an Winkel dachten. Beide Regeln können sinnvoll sein, beantworten aber unterschiedliche Fragen. Formulieren Sie gemeinsam, welche Eigenschaft für die nächste Runde zählt, und lassen Sie die Karten gegebenenfalls neu zuordnen.

Umfang und Fläche als zusätzliche Fragen

Wenn die Seitenlängen bereits interessieren, kann man nach der gesamten Randlänge fragen. Diese Summe heißt Umfang. Beim Beispielrechteck mit Seiten von 2 cm und 4 cm ergibt sich 2 + 4 + 2 + 4 = 12 cm. Jede der vier Seiten wird einmal berücksichtigt. Das Kind kann die Seiten zeigen, während ein Partner die Summe notiert; eine Rechnung ist für das Erkennen eines Rechtecks nicht erforderlich.

Ein Quadrat mit vier Seiten von je 3 cm hat ebenfalls 3 + 3 + 3 + 3 = 12 cm Umfang. Beide Beispielkarten haben also den gleichen Umfang, aber unterschiedliche Seitenlängen und Formen. Gleicher Umfang bedeutet nicht, dass die Konturen beim Aufeinanderlegen zusammenfallen. Der Vergleich braucht die ausdrücklich genannten Abmessungen; eine zufällige Karte kann andere Werte haben.

Die Fläche beantwortet eine andere Frage als der Umfang. Auf einem Raster mit Quadraten von 1 cm Seitenlänge kann das Rechteck von 2 cm mal 4 cm durch zwei Reihen mit je vier Kästchen dargestellt werden: acht Quadratzentimeter. Das Quadrat von 3 cm mal 3 cm enthält drei Reihen mit je drei Kästchen: neun Quadratzentimeter. In diesen Beispielen ist der Umfang gleich, die Fläche verschieden.

Beim Auslegen mit Papierquadraten sollen die Einheiten gleich groß sein und die Fläche ohne Lücken oder Überlappungen bedecken. Nur dann können Sie die Anzahl der ganzen Einheiten unmittelbar als Flächenmaß für diese Beispiele verwenden. Passt eine Karte nicht genau ins Raster, bleiben möglicherweise Teilkästchen; deren Fläche lässt sich nicht durch bloßes Zählen ganzer Kästchen exakt bestimmen. Diese zusätzliche Schwierigkeit kann warten.

Längeneinheiten und Flächeneinheiten unterscheiden sich. Die Seite und der Umfang werden im Beispiel in Zentimetern beschrieben, die bedeckte Fläche in Quadratzentimetern. Wer noch nicht mit Einheiten arbeiten möchte, kann von «Länge des Randes» und «Anzahl gleich großer Kästchen innerhalb» sprechen. Die Begriffe helfen, zwei verschiedene Untersuchungen auseinanderzuhalten.

Drehen Sie ein fertiges Papierquadrat, ändert das weder seinen Umfang noch seine Fläche. Schneiden Sie hingegen ein Stück ab oder falten Sie die Karte, müssen Sie zuerst festlegen, welche Figur oder sichtbare Fläche nun gemeint ist. Eine Drehung und eine Veränderung der Begrenzung sind verschiedene Handlungen. Ein einziges Beispiel darf nicht ohne diese Unterscheidung auf beide übertragen werden.

Das Kind kann sich auch nur für die Form selbst interessieren und Umfang oder Fläche auslassen. Die Zusatzfragen sind keine Voraussetzung, um vier Seiten oder rechte Winkel zu erkunden. Wenn ein Zahlenbeispiel gewählt wird, prüfen Sie gemeinsam die Maße und Einheiten der konkreten Karte, statt automatisch die Werte aus dem Text zu übernehmen.

Ein Kind kann zwei Figuren mit gleichem Flächeninhalt finden, die unterschiedlich aussehen. Auf einem Raster aus Einheitsquadraten enthalten ein Rechteck mit einer Reihe von vier Kästchen und ein Quadrat mit zwei Reihen von je zwei Kästchen jeweils vier Kästchen. Ihre Seitenlängen unterscheiden sich. Diese Aussage setzt voraus, dass alle Kästchen gleich groß sind und vollständig gezählt werden.

Aus vier einzelnen Papierquadraten lassen sich verschiedene Anordnungen legen. Eine Reihe und ein Block aus zwei mal zwei Quadraten bedecken bei gleicher Einheit jeweils vier Kästchen. Verschieben Sie die Teile ohne Überlappung und vergleichen Sie anschließend die äußeren Umrisse. Die gleiche Zahl von Teilen bewahrt die gesamte bedeckte Fläche, sofern die Teile gleich bleiben; die Form und ihr Umfang können sich ändern.

Wenn ein Kind seine Anordnung zeichnen möchte, markieren Sie auf Wunsch die einzelnen Einheiten. Die Zeichnung muss nicht maßstabsgetreu sein, um die Idee zu besprechen. Für eine genaue Aussage über Zentimeter wären jedoch passende Maße und eine ausreichend genaue Darstellung nötig. Fragen Sie, was die Zeichnung zeigen soll, bevor Sie sie als Messprotokoll verwenden.

Formen in Bildern und Gegenständen wiederfinden

Ein Buchdeckel, eine Fliese oder ein Blatt Papier kann eine rechteckige Oberfläche haben. Sprechen Sie über die Fläche oder ihren Rand: Das ganze Buch ist ein räumlicher Gegenstand, während eine Seite als ebenes Modell betrachtet werden kann. Abgerundete Ecken und Materialdicke können vom idealen Rechteck abweichen.

Eine quadratisch wirkende Serviette lässt sich mit einem Papierstreifen an benachbarten Seiten vergleichen, sofern sie ausgebreitet und die Ränder zugänglich sind. Prüfen Sie auch die Winkel, wenn Sie eine geometrische Aussage treffen möchten. Aus größerer Entfernung genügt eine vorsichtige Beschreibung wie «Die Fläche sieht ungefähr quadratisch aus».

In einem Muster auf Stoff oder in einem selbst gestalteten Papierbild können kleine Quadrate und Rechtecke wiederkehren. Bitten Sie das Kind, eine Form auszuwählen und ihre Seiten zu verfolgen oder beschreiben zu lassen. Ein Muster aus Stichen oder breiten Linien bildet die ideale geometrische Grenze möglicherweise nur näherungsweise ab. Das mindert nicht seinen Wert als Ausgangspunkt für eine Beobachtung.

Ausgeschnittene Figuren können zu einem Hausbild werden: ein Rechteck als Tür, ein Quadrat als Fenster, ein Dreieck als vereinfachtes Dach. Das Kind bestimmt, welche Formen es verwendet und wo sie liegen. Die Geschichte ist ein Modell; echte Gebäude sind räumlich und ihre Teile müssen nicht diese Formen haben.

Bei einer gemeinsamen Collage fragt ein Partner, bevor er eine Karte auf das Bild des Kindes klebt. Alternativ bleiben die Teile beweglich und können später anders angeordnet werden. Nach einer Drehung kann das Kind entscheiden, ob es die Form erneut untersuchen oder einfach weitergestalten möchte. Nicht jedes Kunstwerk muss in ein Sortierspiel umgewandelt werden.

Zum Abschluss genügt eine Beobachtung: «Unser Quadrat hatte vier gleiche Seiten und blieb nach der Drehung ein Quadrat» oder «Beide Papierformen hatten rechte Winkel». Das Kind kann eine passende Karte zeigen oder den Gedanken anders ausdrücken. Eine einzelne Antwort ist keine umfassende Aussage über geometrisches Verständnis.