Beispiele suchen: Mengen im Zehnerfeld sichtbar machen

Das Zehnerfeld als Darstellung einer Menge

Ein Zehnerfeld besteht aus zwei Reihen mit je fünf Feldern. In diesem Beitrag steht jedes Feld für einen möglichen Platz; ein Plättchen belegt genau einen Platz. Sind sieben Plättchen verteilt, bleiben drei der zehn Plätze frei. Das Feld zeigt damit gleichzeitig eine belegte und eine freie Teilmenge. Welche der beiden Mengen gefragt ist, sollte ausdrücklich genannt werden.

Die Anordnung in zwei Fünferreihen macht Beziehungen sichtbar. Eine vollständige Reihe mit fünf Plättchen und zwei weitere darunter können als „fünf und zwei“ beschrieben werden. Ein Kind darf jedes Plättchen einzeln zählen oder die volle Reihe als Fünfergruppe nutzen. Die Darstellung bietet eine Struktur an; sie verpflichtet nicht dazu, die Menge auf einen Blick zu erkennen.

Für das Beispiel werden die Felder zunächst in einer vereinbarten Reihenfolge belegt: erst oben von links nach rechts, danach unten. Diese Konvention erleichtert den Vergleich, weil eine volle Fünferreihe zu sehen ist. Sie ist keine notwendige Bedingung dafür, dass die Gesamtzahl sieben beträgt. Auch eine andere Verteilung kann sieben Plättchen enthalten, sofern jedes verwendete Feld eindeutig belegt ist.

Fragen Sie vor einer Antwort, was untersucht wird: „Wie viele Plättchen liegen hier?“, „Wie viele Plätze sind frei?“ oder „Ist die obere Reihe voll?“ Diese Fragen beziehen sich auf verschiedene Merkmale desselben Bildes. Eine Antwort kann für eine Frage zutreffen und für eine andere nicht. Das gemeinsame Zeigen der gemeinten Felder macht diese Unterschiede überprüfbar.

Material und ein klares Ausgangsbild

Zeichnen Sie zwei Reihen mit je fünf ausreichend großen Kästchen auf ein Blatt. Legen Sie höchstens ein großes, altersgeeignetes Plättchen in jedes Kästchen. Alternativ können Karten, aufgemalte Punkte oder andere für die Beteiligten sichere Gegenstände verwendet werden. Kleine Teile gehören nicht in Reichweite von Kindern, für die Verschlucken ein Risiko ist.

Prüfen Sie das Feld gemeinsam: fünf Plätze oben, fünf unten, insgesamt zehn. Wenn ein Kind die Fünferreihen noch nicht als Gruppe erkennt, zählen Sie die Kästchen einzeln. Anschließend legen Sie fünf Plättchen in die obere und zwei in die untere Reihe. Das Kind kann legen, zeigen, ansagen oder eine andere Person um das Verschieben bitten.

Ein Plättchen, das auf einer Trennlinie liegt, macht die Darstellung mehrdeutig. Legen Sie es mit Zustimmung des Kindes vollständig in ein Feld oder verwenden Sie größere Kästchen. Liegen zwei Plättchen übereinander, muss geklärt werden, ob Personen oder Felder gezählt werden. Für die folgende Untersuchung gilt die vereinbarte Regel: höchstens ein Plättchen je Feld.

Eine zweite leere Vorlage ist hilfreich, aber kein Muss. Sie kann aus Papier ausgeschnitten oder auf eine andere Weise dargestellt werden. Wer keine zwei Felder bereitstellen möchte, fotografiert oder zeichnet das erste Bild, bevor es verändert wird, oder beschreibt es gemeinsam. Vor dem Vergleich muss nur erkennbar bleiben, welche Anordnung zu welcher Aussage gehört.

Sieben als fünf und zwei entdecken

Im Ausgangsbild sind oben alle fünf Plätze belegt. Unten liegen zwei Plättchen; die übrigen drei Plätze der unteren Reihe sind frei. Eine mögliche Beschreibung lautet: „Oben fünf, unten zwei: zusammen sieben.“ Ein Kind kann die sieben auch in einer anderen Reihenfolge abzählen. Beide Beschreibungen beziehen sich auf dieselben Plättchen und lassen sich am Material nachprüfen.

Die volle Reihe ist eine hilfreiche Orientierung, aber kein Beweis dafür, dass das Kind die Zahl ohne Zählen kennt. Fragen Sie, wie es zu seiner Antwort gekommen ist. Vielleicht hat es die Reihe gezählt, eine bekannte Fünfergruppe genutzt oder jedes Plättchen berührt. Die Methode darf sich von der des Erwachsenen unterscheiden, solange sie die dargestellte Menge korrekt berücksichtigt.

Wer den Übergang von fünf zu sieben nachvollziehen möchte, kann bei der vollen Reihe beginnen und die beiden unteren Plättchen einzeln ergänzen: fünf, sechs, sieben. Wer lieber mit eins beginnt, zählt alle sieben. Das Weiterzählen setzt voraus, dass die erste Gruppe als fünf bekannt oder zuvor gezählt wurde. Vermeiden Sie, die kürzere Vorgehensweise als die einzig richtige darzustellen.

Die freien Plätze bilden eine eigene Gruppe. Unten sind nach den zwei belegten noch drei Kästchen leer; oben keines. Die Frage „Wie viele fehlen bis zehn?“ kann durch das Zählen dieser drei Kästchen beantwortet werden. Sie bedeutet hier: Wie viele weitere Plättchen passen nach der Regel von höchstens einem pro Feld in die freien Plätze? Es fehlen nicht drei der bereits vorhandenen sieben.

Eine andere Zerlegung der sieben entsteht, wenn drei Plättchen oben und vier unten liegen. Sie können beide Reihen einzeln zählen und anschließend zusammenfassen: drei und vier sind sieben. Die Fünferreihe ist in diesem Bild nicht vollständig. Gerade deshalb eignet es sich, um die Aussage über die Gesamtmenge von der Aussage über die Anordnung zu unterscheiden.

Ein passendes Beispiel und ein Gegenbeispiel

Legen Sie neben das Ausgangsbild ein zweites Zehnerfeld mit fünf Plättchen oben und zwei unten. Es ist ein passendes Beispiel für die Aussage „sieben Plättchen, davon fünf in der oberen und zwei in der unteren Reihe“. Das Kind kann die Reihen getrennt vergleichen oder alle Plättchen zählen. Die Aussage sollte sichtbar bleiben, damit klar ist, wonach gesucht wird.

Ein Gegenbeispiel zu derselben Aussage wäre ein Feld mit fünf Plättchen oben und nur einem unten: Insgesamt liegen dort sechs. Fragen Sie, welches Merkmal nicht passt. Die obere Reihe ist zwar voll, die untere enthält aber nur ein statt zwei Plättchen. Das Bild ist nicht grundsätzlich falsch; es passt lediglich nicht zu dieser konkreten Beschreibung.

Ein anderes Feld könnte vier Plättchen oben und drei unten enthalten. Es zeigt ebenfalls sieben Plättchen, erfüllt aber nicht die engere Angabe „fünf oben und zwei unten“. Für die Aussage „Hier liegen sieben Plättchen“ wäre es passend. Dieses Beispiel trennt die Menge von der Anordnung. Welches Urteil zutrifft, hängt davon ab, welche Aussage überprüft wird.

Lassen Sie das Kind ein eigenes passendes oder unpassendes Feld legen, wenn es möchte. Eine erwachsene Person kann zuerst beschreiben, was sie sieht, und dann die vereinbarte Aussage prüfen. Niemand muss absichtlich schwierige Fallen bauen. Ein klares Gegenbeispiel und eine nachvollziehbare Begründung reichen für eine Gesprächsrunde aus.

Ein Bild mit fünf Plättchen in jeder Reihe ist ein Gegenbeispiel zur Aussage „drei Plätze sind frei“, weil kein Platz frei bleibt. Es ist zugleich ein passendes Beispiel für „das Feld ist vollständig belegt“. Bitten Sie das Kind nicht nur, ein Etikett zu vergeben, sondern zeigen Sie gegebenenfalls die Plätze, auf die sich die vereinbarte Aussage bezieht.

Andere Anordnungen derselben sieben Plättchen

Verschieben Sie auf einem Feld ein Plättchen von oben nach unten, ohne eines hinzuzufügen oder zu entfernen. Aus fünf oben und zwei unten werden vier oben und drei unten. Insgesamt bleiben sieben Plättchen vorhanden. Die freie Platzanzahl bleibt ebenfalls drei, obwohl sich die freien Kästchen nun anders verteilen. Überprüfen Sie die Veränderung gemeinsam am Material.

Eine Anordnung mit Lücken zwischen belegten Feldern kann ebenfalls sieben zeigen. Sie ist möglicherweise schwieriger schnell zu erfassen als eine volle Fünferreihe. Das Kind darf die Plättchen einzeln zählen oder die freien Stellen markieren. Die Schwierigkeit, eine ungewohnte Anordnung sofort zu erkennen, beweist nicht, dass die Zahl nicht verstanden wurde.

Wenn das Kind nur die obere Reihe zählt und „vier“ sagt, kann die erwachsene Person nachfragen: „Hast du diese Reihe gezählt? Wie viele liegen noch unten?“ So wird die gezählte Teilgruppe gewürdigt und die Frage nach der Gesamtmenge erneut geklärt. Zählen Sie anschließend beide Reihen zusammen, wenn das Kind die Überprüfung mitmachen möchte.

Beim Verschieben muss sichtbar bleiben, dass kein Plättchen vom Tisch genommen oder hinzugefügt wurde. Fällt eines herunter, verändert sich zunächst die auf dem Feld sichtbare Gruppe. Finden Sie es wieder und entscheiden Sie gemeinsam, ob es zurückgelegt wird. Die Aussage, die Menge bleibe gleich, gilt für eine reine Umordnung, nicht für ein unbeobachtetes Hinzufügen oder Entfernen.

Auch beim Vergleich zweier Zeichnungen lohnt sich die Frage, ob beide tatsächlich dieselben Gegenstände oder nur dieselbe Anzahl darstellen sollen. Auf Papier genügt für die Mengenfrage, dass jedes Zeichen ein Plättchen repräsentiert. Für eine Geschichte über ein verschobenes einzelnes Plättchen braucht es zusätzlich eine erkennbare Zuordnung zwischen vorher und nachher.

Belegte und freie Felder bis zehn

Bei höchstens einem Plättchen je Feld ergänzen sich belegte und freie Plätze immer zu zehn. Sind sieben Plätze belegt, sind drei frei: sieben plus drei ergibt zehn. Sind acht belegt, bleiben zwei frei. Das ist eine Beziehung zwischen den zehn Feldern; zusätzlich auf dem Tisch liegende Plättchen gehören nicht zur belegten Menge des Feldes.

Diese Beziehung kann man herstellen, ohne sofort eine Gleichung zu schreiben. Legen Sie nach den sieben vorhandenen Plättchen jeweils eines in die drei freien Felder. Sind alle Plätze belegt, können die drei neu gelegten von den ursprünglichen sieben durch Farbe oder getrennte Ablage unterschieden werden. Vereinbaren Sie vorher, was die Farben bedeuten, und zählen Sie bei Bedarf beide Gruppen.

Am Ende liegen zehn Plättchen auf zehn Plätzen. Die drei nachgelegten Plättchen sind nun nicht mehr „freie Felder“; sie belegen die zuvor freien Plätze. Formulieren Sie daher zeitlich genau: „Drei Plätze waren frei; drei Plättchen haben sie gefüllt.“ So bleiben Gegenstände und Räume unterscheidbar, auch wenn ihre Anzahlen zuvor übereinstimmten.

Interessante Randfälle sind das leere und das volle Feld. Auf dem leeren Feld liegen null Plättchen und zehn Plätze sind frei. Auf dem vollen Feld liegen zehn Plättchen und null Plätze sind frei. Diese Fälle müssen nicht sofort behandelt werden. Wenn sie auftauchen, zeigen sie, dass null eine Anzahl beschreibt und die leeren oder belegten Felder trotzdem als Plätze vorhanden sind.

Mengen vergleichen, ohne die Frage zu wechseln

Legen Sie auf zwei Feldern sechs und acht Plättchen, jeweils zuerst eine volle obere Reihe. Unten liegen dann eines beziehungsweise drei. Beide Bilder enthalten fünf in der oberen Reihe; unten sind es bei acht zwei mehr. Wer möchte, kann jedes Plättchen des Sechserfeldes mit einem des Achterfeldes paaren. Danach bleiben im Achterfeld zwei ohne Partner.

Die Paarbildung muss je ein Plättchen aus jedem Feld verbinden, und kein Plättchen darf doppelt verwendet werden. Wenn alle sechs des ersten Feldes einen Partner haben und zwei im zweiten Feld übrig bleiben, zeigt das: Acht ist um zwei größer als sechs. Das ist eine Antwort auf die Frage nach dem Unterschied, nicht auf die Frage nach den insgesamt vier freien Feldern beider Vorlagen.

Die freien Plätze liefern eine andere Sicht: Beim Sechserfeld sind vier Plätze frei, beim Achterfeld zwei. Für zwei gleich große Zehnerfelder mit höchstens einem Plättchen pro Feld gilt hier: Das Feld mit mehr belegten Plätzen hat weniger freie. Nennen Sie die Voraussetzung gleicher Felder; bei unterschiedlich großen Vorlagen lässt sich dieser Schluss nicht ohne Weiteres übertragen.

Vergleichen Sie zunächst nur zwei gut unterscheidbare Mengen. Wenn sechs und acht zu komplex sind, können drei und vier genügen. Das Kind darf zuerst schätzen und anschließend zählen oder paaren. Eine Schätzung ist eine vorläufige Vermutung, keine Verpflichtung, nach der Kontrolle an der ersten Antwort festzuhalten.

Beim Vergleichen von sechs und acht kann das Kind auch feststellen, dass beide oberen Reihen gleich belegt sind. Danach genügt der Blick auf die unteren Reihen, sofern klar ist, dass jeweils fünf oben liegen: drei unten sind zwei mehr als eines unten. Wer diese Zusammenfassung noch nicht nutzen möchte, kann alle Plättchen einzeln paaren. Beide Wege lassen sich am selben Material überprüfen.

Vom Zehnerfeld zu einer Zahlenschreibweise

Wenn das Kind an Zeichen interessiert ist, können Sie zum Ausgangsbild 5 + 2 = 7 schreiben. Die fünf und zwei beziehen sich auf die belegten Plätze in den beiden Reihen. Eine zweite Beziehung lautet 7 + 3 = 10: sieben Plätze sind belegt, drei sind frei, zusammen bilden sie zehn Plätze. Zeigen Sie bei jedem Zeichen, welche Gruppe oder welches Ganze gemeint ist.

Auch 10 − 7 = 3 kann die freien Plätze beschreiben: Von zehn Plätzen sind sieben belegt, drei bleiben frei. Die Darstellung ist eine Möglichkeit, die Beziehung aufzuschreiben; das Kind muss sie nicht verwenden, um die freien Felder zu zählen. Zuerst sollte geklärt sein, dass sich die Zahl zehn auf alle Plätze und die sieben auf die belegten bezieht.

Ein Zeichen erklärt sich nicht allein durch seine Form. Fragen Sie etwa: „Was zeigt die Drei in dieser Geschichte?“ Liegen bereits drei neue Plättchen auf den früher freien Plätzen, kann sie die nachgelegten Plättchen bezeichnen; vor dem Nachlegen bezeichnet sie die freien Plätze. Beide Beschreibungen können passen, wenn der Zeitpunkt genannt wird.

Wenn Symbole die Aufmerksamkeit vom Feld ablenken, lassen Sie sie weg. Eine mündliche Beschreibung, ein Hinweis auf die beiden Gruppen oder ein Zeichnen der freien Plätze reicht. Notieren Sie keine Gleichung als Antwort des Kindes, wenn sie nur vom Erwachsenen vorgeschlagen wurde. Das Gespräch kann später zu den Zeichen zurückkehren, sofern Interesse besteht.

Beispiele im Alltag sorgfältig auswählen

Ein Eierkarton mit zwei Reihen zu je fünf Vertiefungen kann eine ähnliche Struktur zeigen, sofern er sauber, sicher und für die jeweilige Situation geeignet ist. Statt echter Eier eignen sich große Gegenstände oder gezeichnete Punkte. Vor dem Vergleich prüfen Sie, wie viele Vertiefungen der konkrete Karton tatsächlich besitzt: Nicht jeder Karton hat dieselbe Anordnung oder genau zehn Plätze.

Eine Sitzordnung, ein Muffinblech oder eine Sammelkarte kann Plätze enthalten, aber nicht jede Darstellung ist ein Zehnerfeld. Zählen Sie Reihen und Plätze, bevor Sie sie so nennen. Drei Reihen mit je vier Plätzen ergeben zwölf, nicht zehn. Auch hier können belegte und freie Plätze untersucht werden; die Ergänzung erfolgt dann jedoch zur tatsächlichen Gesamtzahl der Plätze.

Im Alltag ist die Regel „ein Gegenstand je Platz“ nicht immer gegeben. In einer Vertiefung können zwei kleine Gegenstände liegen oder ein Gegenstand mehrere Felder überdecken. Dann entspricht die Zahl der belegten Plätze nicht automatisch der Zahl der Gegenstände. Für die erste Untersuchung wählen Sie eine klare Zuordnung oder beschreiben Sie ausdrücklich, was gezählt wird.

Ein Gegenbeispiel zu einer bestimmten Aussage sollte nicht als wertloses Material erscheinen. Ein Zwölferfeld ist ungeeignet für die Aussage „zwei Reihen mit je fünf Plätzen“, kann aber für andere Fragen nützlich sein. Ein Feld mit sechs Plättchen beantwortet eine andere Mengenfrage als eines mit sieben. Der Zweck des Vergleichs ist eine präzise Aussage, kein Urteil über das Material.

Wird ein tatsächlicher Eierkarton verwendet, gehört er nach der Tätigkeit nicht automatisch zurück in die Küche. Ob er für das Spiel geeignet und sauber genug ist, entscheiden die Erwachsenen entsprechend dem verwendeten Material. Ein gezeichnetes Feld erfüllt denselben mathematischen Zweck und vermeidet zusätzliche Vorbereitung. Die Zahl der Plätze lässt sich auf beiden Vorlagen vor Beginn gemeinsam kontrollieren.

Zugängliche Wege zum Vergleichen

Große kontrastreiche Felder und ausreichend Abstand zwischen den Plättchen können die Orientierung erleichtern. Manche Kinder nutzen lieber tastbare Begrenzungen, eine auditive Beschreibung oder eine vertraute Kommunikationshilfe. Klären Sie mit dem Kind und den vertrauten Begleitpersonen, welche Gestaltung tatsächlich zugänglich ist. Eine einzelne Anpassung passt nicht automatisch für alle.

Wer Plättchen nicht selbst greifen möchte oder kann, kann ihre Plätze ansagen, zeigen oder über ein Gerät wählen. Die helfende Person bestätigt, welches Feld gemeint ist, und wartet vor der nächsten Bewegung auf eine Rückmeldung. Fragen Sie vor körperlicher Führung um Einverständnis und akzeptieren Sie, wenn das Kind eine andere Hilfe oder keine Hilfe möchte.

Für eine verbale Beschreibung können die Plätze einer Reihe nummeriert werden: „Oben sind die Plätze eins bis fünf belegt; unten eins und zwei.“ Klären Sie zunächst die Richtung der Nummerierung und die Orientierung des Feldes. Diese Bezeichnungen sind Hilfen zur Verständigung und ersetzen nicht die Möglichkeit, ein anderes vertrautes Ordnungssystem zu verwenden.

Ein Vergleich muss nicht mit einer mündlichen Erklärung enden. Das Kind kann auf das passende Feld zeigen, eine Zuordnungskarte wählen oder Plättchen umlegen. Eine Pause oder das Ende der Tätigkeit sollte ebenfalls ausdrückbar sein. Erwachsene unterstützen die Kommunikation, statt aus einer ausbleibenden schnellen Antwort auf mangelndes Verständnis zu schließen.

Wenn eine Antwort zunächst nicht passt

Sagt ein Kind beim Ausgangsbild „drei“, kann es die freien Plätze statt der belegten zählen. Fragen Sie, welche Felder es meint, und benennen Sie die Antwort: „Ja, drei sind frei. Wie viele Plättchen liegen auf dem Feld?“ Damit wird eine richtige Beobachtung nicht abgewertet und gleichzeitig die ursprüngliche Frage geklärt.

Nennt es „fünf“, hat es möglicherweise nur die volle obere Reihe gezählt. Zeigen Sie auf die untere Reihe und fragen Sie, ob diese Plättchen zur Gesamtmenge gehören. Vielleicht war die Frage unklar oder ein Teil der Vorlage verdeckt. Prüfen Sie zuerst Material und Formulierung, bevor Sie eine Schwierigkeit dem Kind zuschreiben.

Wird ein Feld mit vier oben und drei unten als unpassend bezeichnet, lesen Sie die gewählte Aussage noch einmal. Für „fünf oben und zwei unten“ ist die Einschätzung richtig; für „insgesamt sieben“ passt das Bild durchaus. Der Unterschied liegt nicht in einem Trick, sondern im genauen Merkmal der Aussage. Ein Gegenbeispiel ist immer ein Gegenbeispiel zu etwas Bestimmtem.

Eine einzelne Antwort ist keine Diagnose und kein Gesamturteil über mathematische Fähigkeiten. Bei anhaltenden Fragen können Familien konkrete Situationen und vorhandene Unterstützung mit einer geeigneten Fachperson besprechen. Im Spiel selbst reichen oft eine klarere Frage, weniger Material oder eine Pause. Eine erneute Zählung ist ein Angebot und keine Pflicht.

Abschluss und nächste Untersuchung

Zum Abschluss können Sie das Ausgangsfeld noch einmal betrachten: fünf Plättchen oben, zwei unten, insgesamt sieben; drei Plätze sind frei. Das Kind kann zeigen, welche Aussage es selbst überprüfen möchte. Es muss keine vorgegebene Zusammenfassung wiederholen. Wenn die Konzentration nach einem Vergleich endet, dürfen die Materialien beiseitegelegt werden.

Eine kurze private Notiz kann die nächste Einladung erleichtern: „Verglich zwei Anordnungen mit sieben Plättchen und zählte die untere Reihe mit Unterstützung.“ Halten Sie fest, welche Frage gestellt wurde und welche Hilfe verfügbar war. Aus einer solchen Notiz folgt nicht, dass ein Kind jede andere Darstellung ebenso liest. Eine Dokumentation nach jeder Begegnung ist nicht notwendig.

Ein nächster Schritt könnte sein, ein Feld mit neun Plättchen zu betrachten und den einen freien Platz zu finden. Oder das Kind erfindet ein Gegenbeispiel zu einer eigenen Aussage. Vorher wird vereinbart, ob die Gesamtmenge, die Reihenverteilung oder die freien Felder untersucht werden. Ein neuer Vergleich lohnt sich, wenn er für die Beteiligten sinnvoll und zugänglich ist.

Eine weitere Einführung finden Sie unter Mengen im Zehnerfeld sichtbar machen. Das Feld ist ein Werkzeug zum Ordnen und Überprüfen, kein Test auf schnelles Erkennen. Verschiedene Anordnungen und Antworten werden verständlich, wenn die Frage, die Regel für die Belegung und der Bezug auf das Ganze klar bleiben.

Für ein Kind, das selbst Beispiele erfinden möchte, kann die erwachsene Person eine überprüfbare Aussage notieren, etwa „oben liegen drei Plättchen“. Das Kind legt ein passendes Bild oder eines, das nicht dazu passt. Danach prüfen beide die obere Reihe. Wie viele Plättchen unten liegen, ist für diese einzelne Aussage zunächst unerheblich, solange die Belegungsregel eingehalten wird.