Das Zehnerfeld verstehen: Mengen legen, vergleichen und ergänzen

Was das Zehnerfeld zeigt

Das Feld hat zehn Plätze: fünf oben und fünf unten. Liegt auf jedem Platz höchstens ein Plättchen, können belegte und freie Felder zusammen immer als zehn Plätze betrachtet werden. Bei sieben belegten Feldern bleiben drei frei. Das gilt unabhängig davon, welche sieben Plätze belegt sind. Wie leicht die Sieben zu erkennen ist, hängt aber davon ab, wie die Plättchen angeordnet werden.

Für den Einstieg vereinbaren wir eine feste Leserichtung: Die obere Reihe wird von links nach rechts gefüllt, danach die untere ebenfalls von links nach rechts. Bei sieben Plättchen entsteht so oben eine volle Fünferreihe und unten liegen zwei Plättchen. Die drei rechten Plätze unten bleiben frei. Diese gemeinsame Abmachung erleichtert den Blick auf fünf und zwei; sie bedeutet nicht, dass eine andere Anordnung mathematisch falsch wäre.

Ein Kind kann sieben einzelne Plättchen abzählen, zunächst fünf sehen und dann zwei weiterzählen oder zwei bekannte Gruppen erkennen. Alle diese Wege können zur gleichen Menge führen. Das Zehnerfeld bietet eine Struktur an, schreibt aber nicht vor, wie schnell oder auf welche Art ein Kind die Anzahl erfassen muss. Wenn es die sieben Plättchen einzeln zählt, ist das ein nachvollziehbarer Ausgangspunkt für die weitere Unterhaltung.

Die Zahl der belegten Plätze und die Zahl der freien Plätze sind verschiedene Fragen. Bei sieben Plättchen lautet die erste Antwort sieben und die zweite drei. Fragen Sie deshalb ausdrücklich, welche Plätze betrachtet werden sollen. Ein Kind, das auf „Wie viele?“ mit drei antwortet, könnte die Lücken richtig gezählt und die Frage anders verstanden haben.

Material und Vorbereitung

Zeichnen Sie auf ein Blatt zwei waagerechte Reihen mit jeweils fünf gleich großen Kästchen. Zwischen den Kästchen sollten die Linien gut sichtbar sein. Sie können die zehn Plätze vorher gemeinsam zählen und mit einem Finger verfolgen: fünf oben, fünf unten. Für die folgende Spielidee sitzen beide Personen auf derselben Seite des Blattes nebeneinander, damit „oben“, „unten“ und die vereinbarte Richtung eindeutig bleiben.

Legen Sie zehn ausreichend große Plättchen bereit, zum Beispiel ausgeschnittene Pappkreise. Auch große Holzscheiben oder andere flache Gegenstände eignen sich, sofern sie sicher und bequem zu handhaben sind. Eine erwachsene Person wählt Größe und Material passend zum Kind; kleine verschluckbare Teile sind für Kinder, die Gegenstände in den Mund nehmen, ungeeignet. Jedes Plättchen sollte genau ein Kästchen abdecken, ohne die Nachbarfelder zu verdecken.

Ein zweites Blatt dient als Unterlage für Plättchen, die gerade nicht auf dem Zehnerfeld liegen. So lassen sich benutzte und übrige Gegenstände unterscheiden. Die Gesamtzahl der vorbereiteten Plättchen ist nur dann eine hilfreiche Zusatzinformation, wenn das Kind weiß, dass alle zehn bereitliegen. Für die Frage nach freien Feldern zählt zunächst das Raster: Es hat zehn Plätze, auch wenn neben dem Blatt gar keine Plättchen mehr liegen.

Beschriften Sie die Kästchen für den ersten Versuch nicht mit Ziffern. Steht in einem Feld eine Sieben, könnte unklar sein, ob die Ziffer den Platz bezeichnet oder ob sieben Gegenstände daraufgelegt werden sollen. Eine kleine Markierung links oben kann den vereinbarten Anfang zeigen. Wenn das Kind die Form lieber ertastet, können erhabene Linien und große, gut unterscheidbare Auflagen eine Alternative sein. Fragen Sie, welche Darstellung für das Kind zugänglich ist.

Bereiten Sie außerdem einen schmalen Papierstreifen vor, mit dem sich bei Bedarf eine Reihe abdecken lässt. Er ist kein notwendiges Arbeitsmittel, sondern kann später helfen, eine Fünferreihe getrennt anzusehen. Wenn das Abdecken das Kind irritiert, lassen Sie beide Reihen sichtbar. Das Ziel ist, Beziehungen im Feld zu besprechen, nicht eine versteckte Prüfung durchzuführen.

Zunächst fünf und dann sieben legen

Stellen Sie das leere Feld vor das Kind und fragen Sie: „Wo könnten wir anfangen, damit wir später beide dasselbe meinen?“ Zeigen Sie die Markierung links oben und erklären Sie die verabredete Reihenfolge. Dann legt das Kind ein Plättchen auf den ersten Platz. Gemeinsam können Sie nach jedem Legen die belegten Felder verfolgen: eins, zwei, drei, vier, fünf. Ein Kind, das lieber zeigt als spricht, kann bei jedem Zahlwort auf ein neues Feld tippen.

Nach fünf Plättchen ist die obere Reihe vollständig. Fragen Sie: „Was fällt dir an dieser Reihe auf?“ Vielleicht sagt das Kind: „Da passt keins mehr hin.“ Das beschreibt die Begrenzung der Reihe treffend. Zeigen Sie zugleich, dass darunter noch fünf Plätze frei sind. Oben ist die Reihe voll, aber das gesamte Zehnerfeld ist erst zur Hälfte belegt.

Nun legen Sie zwei weitere Plättchen in die ersten beiden Kästchen der unteren Reihe. Lassen Sie dem Kind Zeit, die Gesamtmenge zu bestimmen. Es kann von eins bis sieben zählen oder bei der vollen Fünferreihe beginnen: „fünf, sechs, sieben“. Sprechen Sie bei dieser zweiten Variante die fünf nicht erneut für das erste untere Plättchen, sondern zählen Sie von fünf aus zwei Schritte weiter.

Angenommen, Lina sagt: „Oben fünf und unten zwei, also sieben.“ Fragen Sie, wo sie die fünf und wo sie die zwei sieht. Sie kann auf die Reihen zeigen, die Plättchen berühren oder die zwei unteren einzeln bewegen. Eine passende Zusammenfassung lautet: „Du hast die volle Reihe als fünf genommen und die beiden anderen dazugezählt.“ Dafür braucht Lina die Schreibweise 5 + 2 = 7 noch nicht zu kennen.

Wenn Lina sieben einzelne Zahlwörter verwendet, fragen Sie nicht sofort nach einem schnelleren Verfahren. Markieren Sie stattdessen die obere Reihe mit dem Papierstreifen darunter und fragen Sie: „Wie viele waren in dieser ganzen Reihe? Wie viele liegen darunter?“ Vielleicht verbindet sie die beiden Beobachtungen bereits selbst. Wenn nicht, legen Sie die sieben an einem anderen Tag erneut und lassen beide Zählwege nebeneinander stehen.

Freie Plätze und Ergänzung zur Zehn

Bei der vereinbarten Anordnung sind nach sieben Plättchen die letzten drei Plätze der unteren Reihe frei. Stellen Sie die Frage konkret: „Wie viele leere Kästchen siehst du noch?“ Das Kind kann die drei Felder einzeln zeigen. Erst danach fragen Sie: „Wie viele Plättchen müssten wir auf diese leeren Plätze legen, damit jeder Platz belegt ist?“ Für jeden freien Platz wird genau ein weiteres Plättchen benötigt, also drei.

Legen Sie die drei zusätzlichen Plättchen nacheinander, möglichst aus einem eigenen Vorrat neben dem Blatt. Jetzt sind oben fünf und unten fünf Plätze belegt. Zählen Sie die Plätze gemeinsam oder nutzen Sie die bereits bekannte Aufteilung fünf und fünf. Die Geschichte lautet: sieben waren da, drei kamen dazu, nun sind es zehn. Die Rechenschreibweise 7 + 3 = 10 kann diese Handlung festhalten, ersetzt aber nicht das gemeinsame Anschauen.

Wenn das Kind acht als Ergebnis nennt, prüfen Sie zuerst, wie es die Ergänzung gezählt hat. Vielleicht hat es das erste neue Plättchen als sieben bezeichnet oder ein leeres Kästchen übersehen. Legen Sie die Ausgangssituation wieder mit sieben her und zählen Sie beim Hinzufügen: „acht“ beim ersten, „neun“ beim zweiten, „zehn“ beim dritten. So wird sichtbar, dass drei neue Plättchen hinzukommen, obwohl die gesprochenen Zahlen acht, neun und zehn lauten.

Verwechseln Sie „drei freie Plätze“ nicht mit „drei Plättchen liegen auf dem Feld“. Beim Ergänzen wechselt die Aufmerksamkeit von den vorhandenen Gegenständen zu den Lücken und danach zur Gesamtmenge. Eine hilfreiche Nachfrage lautet: „Zeigst du mir gerade die Plättchen, die schon da sind, oder die freien Plätze?“ Das gibt dem Kind Gelegenheit, seinen Bezugspunkt zu klären.

Wenn das volle Feld anschließend wieder geleert wird, bleiben die zehn Plätze bestehen. Ein leeres Zehnerfeld zeigt null belegte und zehn freie Plätze. Es bedeutet nicht, dass überhaupt keine Gegenstände im Raum vorhanden sind: Gezählt werden hier ausdrücklich die Plättchen auf dem Feld. Auch diese Unterscheidung kann ein Kind zeigen, indem es auf das leere Raster und dann auf den Vorrat daneben weist.

Was unterschiedliche Antworten zeigen können

Wenn zwei Plättchen übereinander in einem Kästchen liegen, fragen Sie, was ein Kästchen in diesem Spiel darstellt. Für den Vergleich von belegten und freien Plätzen vereinbaren wir höchstens ein Plättchen pro Platz. Liegen zwei übereinander, gibt es zwar zwei Gegenstände, aber nur ein belegtes Kästchen. Trennen Sie die Plättchen und suchen Sie gemeinsam einen freien Platz für das zweite. So wird die Regel aus der Handlung verständlich.

Wenn das Kind beim Zählen ein Feld überspringt oder eines doppelt berührt, lassen Sie es die Plättchen zunächst in einer Reihe außerhalb des Rasters auflegen. Ein langsames Verschieben von einem Bereich in den anderen kann helfen, bereits gezählte Gegenstände zu kennzeichnen. Danach übertragen Sie dieselbe Menge zurück ins Feld. Ein einzelner Zählfehler sagt nicht, ob die Vorstellung von fünf und zwei schon vorhanden ist.

Manchmal zählt ein Kind die sichtbaren Plättchen korrekt, nennt aber fünf freie Plätze, weil es die volle obere Reihe und die leeren Felder verwechselt. Bitten Sie es, nur die Plätze ohne Plättchen zu umranden oder mit einem Finger nacheinander anzutippen. Bei sieben in der festgelegten Anordnung sind es drei. Mit einer anderen Verteilung der sieben bleiben ebenfalls drei frei, auch wenn die Lücken an anderen Stellen liegen.

Sagt das Kind „fünf und zwei“ ohne die Gesamtzahl zu nennen, hat es zwei Teilmengen erkannt. Sie können fragen: „Wie viele sind es zusammen?“ und es selbst zählen lassen. Sagt es dagegen „sieben“, ohne die Fünferreihe zu beachten, fragen Sie nach einer möglichen Aufteilung. Keine der beiden Antworten muss sofort die ganze mathematische Beziehung enthalten; unterschiedliche Fragen machen unterschiedliche Aspekte sichtbar.

Wenn ein Kind bei der Zahl sieben die Ziffer 7 schreibt, ist das eine passende Zahlenschreibweise, aber noch kein Nachweis dafür, dass es die freien Plätze betrachtet hat. Umgekehrt kann ein Kind die Menge korrekt legen und erklären, ohne die Ziffer schreiben zu können. Beobachten Sie die Handlung, über die Sie gerade sprechen, statt aus einer einzelnen Antwort eine allgemeine Einschätzung abzuleiten.

Mengen von null bis zehn untersuchen

Beginnen Sie mit drei Plättchen in der oberen Reihe. Fragen Sie nach der Anzahl und nach den leeren Plätzen. Drei sind belegt, sieben frei: zwei oben und fünf unten. Gerade dieses Beispiel macht deutlich, dass freie Plätze nicht immer in einer einzigen Reihe liegen. Das Kind kann beide freien Bereiche nacheinander zeigen und erst dann zusammenzählen.

Bei fünf Plättchen ist die obere Reihe voll und die untere leer. Fünf belegte und fünf freie Plätze können gleich viele sein, obwohl die einen Gegenstände enthalten und die anderen nicht. Legen Sie auf Wunsch je ein Plättchen auf jeden freien Platz, um zu überprüfen, dass genau fünf weitere benötigt werden. Anschließend nehmen Sie die hinzugefügten Plättchen wieder weg, damit der Ausgangszustand erkennbar bleibt.

Bei sechs ist nach unserer Reihenfolge die obere Reihe voll und unten liegt ein Plättchen. Fragen Sie, was sich gegenüber der Fünf verändert hat. Ein Platz wurde zusätzlich belegt; aus fünf belegten Plätzen wurden sechs, aus fünf freien wurden vier. Die Betrachtung von belegt und frei beschreibt dieselbe Veränderung aus zwei Richtungen. Wenn beide Fragen zugleich zu viel sind, besprechen Sie sie nacheinander.

Bei neun ist nur der rechte Platz unten frei. Ein einziges weiteres Plättchen füllt das Feld. Nach der Ergänzung sind zehn Plätze belegt und keiner frei. Nehmen Sie dieses eine Plättchen wieder weg, um die umgekehrte Veränderung zu zeigen: Aus zehn belegten werden neun, ein Platz wird frei. Die Bezeichnungen „dazu“ und „weg“ beziehen sich dabei auf das Feld, nicht auf die Gesamtzahl der Gegenstände im Zimmer.

Bei null liegen keine Plättchen auf dem Feld. Das Kind kann zeigen, dass alle zehn Kästchen frei sind, und anschließend ein Plättchen auf den ersten Platz legen. Jetzt ist ein Platz belegt und neun sind frei. Diese kleine Veränderung eignet sich auch, um die vereinbarte Füllrichtung kennenzulernen, ohne schon zwei Reihen gleichzeitig betrachten zu müssen.

Andere Anordnungen vergleichen

Legen Sie sieben Plättchen nach der vereinbarten Reihenfolge und zeichnen Sie daneben ein zweites Zehnerfeld. Im zweiten Feld könnten oben vier und unten drei Plättchen liegen. Fragen Sie, ob beide Felder gleich viele zeigen. Das Kind kann jedes Feld zählen oder einem Plättchen im ersten Feld jeweils eines im zweiten zuordnen. Beide zeigen sieben, obwohl das Bild unterschiedlich aussieht.

Sprechen Sie darüber, welche Anordnung fünf besonders deutlich macht. Im ersten Feld bildet die obere Reihe eine sichtbare Fünfergruppe. Im zweiten gibt es ebenfalls insgesamt sieben Plättchen, aber keine vollständig belegte Reihe. Ein Kind könnte vier und drei sehen oder zum Vergleichen eines der drei unteren Plättchen nach oben verschieben. Danach liegen oben fünf und unten zwei; die Anzahl hat sich beim Verschieben nicht verändert.

Prüfen Sie dabei, dass wirklich nur verschoben wurde: Kein Plättchen kam hinzu und keines wurde entfernt. Die Anordnung 4 + 3 und die Anordnung 5 + 2 beschreiben verschiedene Zerlegungen derselben Gesamtzahl. Wenn das Kind die Gleichung noch nicht lesen möchte, genügen die gesprochenen Gruppen und das sichtbare Umlegen. Eine andere Platzierung ist nicht falsch, solange die Frage und die Zählregel klar sind.

Eine Anordnung mit drei Plättchen oben und vier unten sieht anders aus als vier oben und drei unten. Beide enthalten sieben. Sie können fragen, was sich verändert und was gleich bleibt: Die Plätze und die Verteilung auf die Reihen ändern sich, die Gesamtzahl nicht. Achten Sie darauf, die Begriffe „oben“ und „unten“ auf die Perspektive zu beziehen, von der aus beide das Blatt betrachten.

Verwenden Sie die vereinbarte Füllrichtung vor allem als gemeinsame Orientierung, wenn Sie ein Bild schnell wiedererkennen oder eine Menge nach Anleitung legen möchten. Bei einer offenen Aufgabe wie „Zeig sieben auf deine Art“ dürfen andere Verteilungen entstehen. Die anschließende Frage lautet dann, wie sich die sieben belegten und drei freien Plätze nachweisen lassen.

Eine kleine Geschichte für die Übung

Aus dem Feld kann ein Bus mit zehn gezeichneten Sitzplätzen werden. Zuerst sitzen fünf Pappfiguren in der oberen Reihe und zwei in der unteren. Fragen Sie: „Wie viele Fahrgäste sind schon da? Wie viele Sitzplätze sind noch frei?“ In dieser Geschichte steht jedes Plättchen für eine Person und jedes Kästchen für einen Sitz. Die Figuren müssen nicht lebensecht sein; ihre eindeutige Zuordnung zu den Plätzen ist wichtiger.

Nun kommen drei weitere Fahrgäste dazu und jeder setzt sich auf einen freien Platz. Lassen Sie das Kind die Figuren bewegen und erzählen, was sich verändert. Vorher sind sieben Plätze belegt und drei frei, danach zehn belegt und keiner frei. Die Geschichte illustriert eine bestimmte Situation; sie behauptet nicht, dass echte Busse immer zehn Plätze haben oder Fahrgäste in dieser Reihenfolge einsteigen.

Als zweite Runde steigen zwei Fahrgäste aus dem vollen Bus aus. Legen Sie ihre Figuren neben das Blatt, nicht auf andere Plätze im Bus. Jetzt bleiben acht Fahrgäste im Bus und zwei Sitzplätze sind frei. Fragen Sie, woran das Kind die Acht erkennt. Es kann die verbliebenen Figuren einzeln zählen oder davon ausgehen, dass vom vollen Zehnerfeld zwei weggegangen sind.

Wenn das Kind die ausgestiegenen Figuren beim Zählen mit erfasst, klären Sie den Rahmen der Frage: „Ich meine die Personen, die noch auf den Sitzplätzen sind.“ Alle zehn Pappfiguren sind weiterhin auf dem Tisch, aber nur acht liegen im Feld. Diese räumliche Unterscheidung macht die Subtraktionsgeschichte verständlicher als eine Korrektur ohne Bezug auf die Handlung.

Das Kind kann anschließend eine eigene Geschichte erfinden: etwa zehn Plätze für Bücher im Regal oder zehn Stellflächen für Spielzeugautos. Achten Sie darauf, dass ein Gegenstand genau einen gezeichneten Platz belegt. Soll ein großer Gegenstand mehrere Plätze einnehmen, handelt es sich um eine andere Fragestellung; die einfache Zuordnung von einem Plättchen zu einem Platz gilt dann nicht mehr.

Das Spiel leichter oder anspruchsvoller gestalten

Als leichteren Einstieg zeichnen Sie nur eine Reihe mit fünf Kästchen. Legen Sie drei Plättchen und untersuchen Sie die zwei freien Plätze. Erst wenn diese Anordnung vertraut ist, stellen Sie die zweite Reihe dazu und besprechen die zehn Plätze. Eine Fünferreihe ist kein vollständiges Zehnerfeld, macht aber die Belegung einzelner Plätze und die Richtung des Legens übersichtlicher.

Verringern Sie bei Bedarf die Anforderungen an die Bewegung: Das Kind kann ein Feld ansehen oder darauf zeigen, während die erwachsene Person das Plättchen dort ablegt. Wiederholen Sie die Wahl laut: „Du zeigst auf diesen freien Platz; ich lege es hierhin.“ So bleibt die Entscheidung beim Kind. Ein rutschfestes Blatt und kontrastreiche, große Plättchen können ebenfalls die Handhabung erleichtern.

Für eine zusätzliche Herausforderung legen Sie zunächst acht Plättchen und decken dann nur eine Reihe ab. Sagen Sie vorher, welche Reihe verdeckt wird. Wenn die obere Fünferreihe verdeckt ist und unten drei sichtbar sind, kann das Kind überlegen, wie viele darunter liegen und was zusammen acht ergibt. Die verdeckte Menge ist nur bestimmbar, wenn die Ausgangsmenge und die Anordnung bekannt sind; ohne diese Angaben wären mehrere Antworten möglich.

Vergleichen Sie anschließend zwei Felder: eines mit sechs und eines mit acht Plättchen. Legen Sie sie untereinander ausgerichtet und fragen Sie, wie viele mehr das zweite Feld zeigt. Bei gleicher Füllrichtung sind dort zwei zusätzliche Plätze belegt. Das Kind kann die beiden zusätzlichen Plättchen zeigen oder von sechs auf acht weiterzählen. Freie Plätze gibt es entsprechend vier im ersten und zwei im zweiten Feld.

Eine weitere Frage lautet: „Wie können sieben Plättchen auf die beiden Reihen verteilt werden?“ Mögliche Belegungen sind fünf und zwei, vier und drei, drei und vier sowie zwei und fünf. Mehr als fünf Plättchen passen nach der vereinbarten Regel nicht in eine Reihe. Diese Beispiele sind geordnete Verteilungen auf obere und untere Reihe; tauscht man die Reihen, bleibt die Gesamtmenge gleich, das Bild verändert sich jedoch.

Sobald ein Feld voll ist, kann ein zweites Feld für Zahlen über zehn hinzukommen. Elf ließe sich als ein volles Zehnerfeld und ein Plättchen im zweiten zeigen. Fügen Sie das zweite Raster nur hinzu, wenn diese neue Frage zum Lernstand und Interesse passt. Für die Ergänzungen innerhalb der Zehn genügt ein Feld; zusätzliche Kästchen würden die Zahl der insgesamt betrachteten Plätze verändern.

Beobachten, festhalten und auf BrainHunters weiterüben

Eine hilfreiche Notiz beschreibt eine konkrete Handlung und die verfügbare Unterstützung. Zum Beispiel: „Lina legte nach unserer Reihenfolge sieben Plättchen. Sie zählte die obere Reihe als fünf und zeigte zwei unten. Die drei freien Plätze zählte sie einzeln.“ Diese Aussage unterscheidet die beobachtete Strategie von einer allgemeinen Bewertung wie „kann die Sieben“.

Halten Sie auch fest, wenn das Feld vorgemalt, die Fünferreihe markiert oder eine Frage wiederholt wurde. Beim nächsten Mal können Sie überlegen, welche Unterstützung wieder nützlich ist. Eine sichtbare Markierung ist ein Werkzeug und kein Makel. Zwei Beobachtungen unter verschiedenen Bedingungen lassen sich nicht einfach als Fortschritt oder Rückschritt vergleichen, ohne die veränderte Aufgabe zu berücksichtigen.

Wenn das Kind nach der Papierübung digital weitermachen möchte, sehen Sie sich gemeinsam den Bereich Zahlen auf BrainHunters an und wählen Sie eine verfügbare Aufgabe, die zum Kind passt. Lesen Sie zuerst, was dort tatsächlich verlangt wird: Eine Aufgabe zum Zahlenerkennen, Zählen oder Vergleichen kann an das Zehnerfeld anknüpfen, muss aber nicht dieselbe Darstellung verwenden.

Zurück am Tisch kann das Kind eine Zahl aus der digitalen Aufgabe mit Plättchen darstellen und erklären, welche Plätze belegt sind. Alternativ bleibt das Zehnerfeld für eine andere Gelegenheit liegen. Die wichtigste Frage zum Abschluss ist konkret: „Was zeigt dir dieses Bild über die Menge?“ Eine Antwort mit Worten, Fingern oder Verschieben der Plättchen ist gleichermaßen ein sinnvoller Ausgangspunkt.