Gegenstände oder Zeichnungen: Die Null und der leere Korb

Eine überschaubare Situation vorbereiten

Stellen Sie zwei Körbe oder gut unterscheidbare Schalen bereit und wählen Sie vier große Bausteine. Die Gegenstände sollen zum Alter und zu den Bedürfnissen des Kindes passen; eine erwachsene Person prüft Material und Umgebung. Wenn keine Körbe vorhanden sind, können zwei markierte Bereiche auf einem Tisch dieselbe Aufgabe übernehmen. Wichtig ist, dass erkennbar bleibt, welche Steine zu welchem Bereich gehören.

Legen Sie zunächst alle vier Steine in den ersten Korb und lassen Sie den zweiten leer. Das Kind kann in beide Körbe schauen, sie mit Unterstützung erkunden oder einer anderen Person sagen, wohin sie zeigen soll. Fragen Sie konkret: «Wie viele Bausteine liegen im zweiten Korb?» Nachdem Sie gemeinsam hineingesehen haben, können Sie sagen: «Darin liegt kein Baustein, also sind es null Bausteine.»

Die Frage bezieht sich auf Bausteine im zweiten Korb. Der Korb selbst ist weiterhin ein Gegenstand, und im ersten Korb liegen vier Steine. Null bezeichnet hier die Anzahl einer bestimmten Gruppe, nicht das Verschwinden aller Dinge auf dem Tisch. Wer fragt «Wie viele Körbe sind da?», erhält zwei; wer nach den Steinen im leeren Korb fragt, erhält null.

Bieten Sie eine kurze Wahl an: Möchte das Kind zuerst die Körbe untersuchen oder gleich ein Bild davon machen? Es kann Steine bewegen, zeigen, sprechen, ein Kommunikationsgerät verwenden oder beobachten. Wer nichts zeichnen möchte, kann einer anderen Person Hinweise geben. Auch eine einzelne Beobachtung reicht als Abschluss; die folgenden Ideen sind Möglichkeiten und kein Pflichtprogramm.

Wenn der Innenraum eines Korbs nicht gut zu erkennen ist, stellen Sie ihn so hin, dass er zugänglich bleibt, oder beschreiben Sie ihn gemeinsam. Eine geeignete taktile Erkundung kann eine Alternative sein, sofern das Kind sie möchte und die Materialien dafür passen. Es muss weder eine bestimmte Antwortform noch Blickkontakt geben, damit eine Teilnahme zählt.

Der erste Korb dient als Kontrast und Aufbewahrungsort. Soll der Fokus zunächst nur auf null und eins liegen, genügt ein einzelner Korb mit einem Stein daneben. Beginnen Sie mit dem leeren Korb, legen Sie den Stein hinein und nehmen Sie ihn wieder heraus. Vier Steine und ein zweiter Korb können später hinzukommen, wenn sie die Frage bereichern statt sie zu überladen.

Den leeren Korb mit einer Zeichnung festhalten

Zeichnen Sie auf ein Blatt zwei einfache Korbumrisse. Sagen Sie, welcher Umriss für welchen echten Korb steht; unterschiedliche Zeichen neben den Umrissen können helfen. In den ersten zeichnen Sie vier Punkte oder kleine Kästchen für die vier Bausteine. Im zweiten Umriss bleibt die Fläche ohne solche Zeichen. Die Punkte sind eine vereinbarte Darstellung der Steine und selbst keine Bausteine.

Vergleichen Sie Bild und Anordnung: Vier gezeichnete Zeichen entsprechen vier Steinen im ersten Korb; im zweiten Korb und in seinem Umriss sind keine Steine beziehungsweise Steinzeichen. Das Kind kann Paare herstellen, indem es auf einen gezeichneten Punkt und einen echten Stein zeigt. Beim leeren Korb gibt es keinen Punkt und keinen Stein zuzuordnen. Auch diese leere Darstellung ist vollständig, wenn null Steine gezeigt werden sollen.

Eine leere Bildfläche ist allerdings nicht immer eindeutig. Vielleicht wurde das Zeichnen unterbrochen, oder der Umriss stellt einen Korb dar, dessen Inhalt auf dem Bild nicht zu sehen ist. Für diese Aktivität vereinbaren Sie ausdrücklich: Die Fläche innerhalb des Umrisses zeigt die Bausteine, die im Korb liegen. Eine Beschriftung wie «0 Bausteine» kann die Bedeutung ergänzen, wenn Sie Schrift oder Zahlzeichen verwenden möchten.

Das Kind muss die Körbe nicht naturgetreu zeichnen. Zwei Kreise mit unterscheidbaren Markierungen können genügen, wenn alle Beteiligten wissen, welcher Kreis welchen Korb bezeichnet. Eine erwachsene Person kann nach den Angaben des Kindes zeichnen und anschließend fragen: «Soll dieser Punkt in den ersten Korb?» Das Kind darf die Darstellung korrigieren oder einen anderen Platz für das Zeichen wählen.

Ein Bild hält einen ausgewählten Zustand fest. Nehmen Sie nach dem Zeichnen einen Stein aus dem ersten Korb und legen Sie ihn auf den Tisch, zeigt das alte Bild weiterhin vier Zeichen im ersten Umriss. Es verändert sich nicht von selbst. Nun gibt es verschiedene Möglichkeiten: die Zeichnung mit Erlaubnis ändern, ein zweites Bild anfertigen oder dazuschreiben, dass das erste Bild den Zustand vor dem Herausnehmen zeigt.

Ein Foto kann ebenfalls einen Zeitpunkt festhalten, aber verdeckte Steine sind darauf möglicherweise nicht erkennbar. Ist der Korb auf dem Foto nicht von innen zu sehen, beweist eine scheinbar leere Fläche nicht, dass er tatsächlich leer war. Für einen Vergleich brauchen Sie einen geeigneten Blickwinkel oder eine ergänzende Beschreibung. Ein Foto ist für die Aktivität nicht erforderlich und muss nicht geteilt werden.

Von einem Stein zu null und wieder zurück

Legen Sie einen Baustein in den zuvor leeren Korb. Jetzt liegt dort ein Stein; im anderen Korb befinden sich drei, wenn der Stein von dort genommen wurde. Die vier Steine sind weiterhin auf die beiden Körbe verteilt. Zeigen Sie auf den einen Stein und vergleichen Sie die neue Lage mit der älteren Zeichnung, die noch den leeren Korb darstellt.

Nehmen Sie den einzelnen Stein anschließend heraus und legen Sie ihn auf eine deutlich markierte Fläche neben dem Korb. Im Korb liegen wieder null Bausteine, während der herausgenommene Stein auf dem Tisch sichtbar bleibt. Falls die übrigen drei Steine im anderen Korb geblieben sind, liegen insgesamt drei dort und einer daneben. Null im gewählten Korb bedeutet also nicht, dass die vier Steine verschwunden sind.

Halten Sie die Schritte mit drei Bildern fest: zuerst ein leerer Korb, dann ein Korb mit einem Stein, zuletzt wieder ein leerer Korb und der Stein daneben. Schreiben oder diktieren Sie «vorher», «hineingelegt» und «herausgenommen» dazu. Das erste und das letzte Bild zeigen dieselbe Anzahl im Korb, aber im letzten Bild ist die Lage des herausgenommenen Steins zusätzlich dargestellt.

Die Reihenfolge ist bedeutsam. Ein Bild mit einem Stein kann vor oder nach dem leeren Zustand entstehen, je nachdem, ob Sie etwas hineinlegen oder herausnehmen. Fragen Sie: «Was ist zwischen diesen Bildern passiert?» Das Kind kann die Bewegung mit dem echten Stein nachstellen. Wenn mehrere Handlungen möglich sind, akzeptieren Sie unterschiedliche Vorschläge und prüfen gemeinsam, ob sie zum gezeigten Anfang und Ende passen.

Ein Gegenstand bietet hier eine besondere Möglichkeit: Sie können ihn tatsächlich zwischen den Bereichen bewegen. Eine Zeichnung zeigt dagegen nur, was jemand festgehalten hat. Ein Pfeil kann die beabsichtigte Bewegung darstellen, aber erst die vereinbarte Bedeutung macht klar, ob der Stein hinein- oder herausbewegt wird. Legen Sie die Pfeilrichtung gemeinsam fest, statt sie vorauszusetzen.

Wenn das Kind ein anderes Ende erfindet, etwa dass eine Spielfigur den Stein mitnimmt, verfolgen Sie seine Geschichte. Danach können Sie fragen, wie viele Bausteine jetzt im Korb liegen und wo der Stein ist. Die Antwort ergibt sich aus der tatsächlich gespielten Handlung; sie muss nicht mit dem zuerst geplanten Ende übereinstimmen.

Null, eins und die Anzahl der Körbe unterscheiden

Stellen Sie einen Korb mit einem Stein neben einen Korb ohne Stein. Im ersten liegt ein Baustein, im zweiten null. Zum Vergleichen können Sie den vorhandenen Stein zeigen und anschließend in den leeren Korb blicken. Es gibt dort keinen zweiten Stein, den Sie dem ersten zuordnen könnten. Die Aussage «eins ist mehr als null» bezieht sich auf die gezählten Bausteine.

Legen Sie einen Stein aus dem ersten Korb in den zweiten, sind die Mengen vertauscht: Der erste Korb enthält null, der zweite einen Stein. Insgesamt bleibt es bei einem Stein, solange keiner hinzukommt oder weggelegt wird. Das Kind kann den Wechsel mit einer Spielfigur durchführen oder einem Partner die Richtung zeigen. Die Standorte der Körbe können dabei gleich bleiben.

Zwei leere Körbe enthalten jeweils null Bausteine. Zusammen sind darin ebenfalls null Bausteine, auch wenn zwei Körbe sichtbar sind. Eine Zeichnung mit zwei leeren Umrissen kann das zeigen. Wer nach der Anzahl der Umrisse fragt, zählt zwei; wer nach den eingezeichneten Steinen in diesen Umrissen fragt, zählt null. Beide Antworten passen, solange die jeweilige Frage genannt wird.

Ein Korb kann außerdem null Bausteine, aber einen anderen Gegenstand enthalten. Legen Sie zum Beispiel ein Tuch hinein und fragen Sie getrennt nach Bausteinen und nach Tüchern. Die Antworten lauten null und eins. Den Korb insgesamt als leer zu bezeichnen, wäre dann missverständlich; genauer ist «kein Baustein im Korb». Ein Bild kann das Tuch mit einem gesonderten Zeichen darstellen.

Auch außerhalb eines Korbs gibt es unterschiedliche Gruppen. Wenn zwei Steine neben dem Korb und keiner darin liegen, lautet die Antwort auf «Wie viele liegen im Korb?» null; auf «Wie viele liegen daneben?» lautet sie zwei. Für die Frage nach allen Steinen auf dem Tisch müssen beide Orte berücksichtigt werden. Zeigen Sie die Grenzen der jeweils gemeinten Gruppe, bevor gezählt wird.

Die Zahl muss nicht bei jeder Frage aufgeschrieben werden. Wenn das Kind das Zahlzeichen kennenlernen möchte, schreiben Sie «0» neben den Umriss und sprechen «null». Die Ziffer ist eine schriftliche Darstellung der Anzahl. Ein Kind kann den leeren Korb auch verstehen und zeigen, ohne die Ziffer schon zu lesen oder selbst zu schreiben.

Was Gegenstände zeigen und was Bilder leisten

Mit einem echten Stein lässt sich eine Veränderung ausführen: Er kann im Korb liegen, herausgenommen und an einen anderen Ort gelegt werden. Die Bewegung ist unmittelbar nachvollziehbar. Dafür braucht das Kind Zugang zum Material und gegebenenfalls eine Person, die eine Handlung nach seiner Anweisung ausführt. Ein unübersichtlicher oder verdeckter Korb kann die Beobachtung erschweren.

Eine Zeichnung kann Zustände nebeneinander zeigen, die in Wirklichkeit nacheinander passiert sind. Zwei Bilder erlauben zum Beispiel den Vergleich «ein Stein vorher» und «null Steine nachher». Sie bleiben liegen, während die Gegenstände bereits neu angeordnet werden. Ihre Aussagekraft hängt davon ab, ob die Zeichen verständlich sind und der Zeitpunkt bekannt ist.

Das Bild kann weder selbst kontrollieren, was im Korb liegt, noch eine Bewegung ausführen. Wenn die Wirklichkeit verändert wurde, kann es veralten. Umgekehrt kann die Zeichnung eine Information enthalten, die im aktuellen Aufbau nicht mehr sichtbar ist: etwa wo ein Stein am Anfang lag. Für eine Frage über den früheren Zustand ist das Bild deshalb unter Umständen hilfreicher als der Blick auf den Tisch allein.

Ein Symbol kann weitere Eigenschaften weglassen. Vier gleiche Punkte zeigen die Anzahl vier, aber nicht zwingend Farbe, Form oder Größe der echten Steine. Wenn diese Merkmale für die Aufgabe wichtig sind, ergänzen Sie eine Legende oder verwenden verschiedene Zeichen. Geht es nur um die Anzahl der Bausteine, müssen die Punkte nicht alle Einzelheiten des Materials wiedergeben.

Die Wahl muss nicht «entweder Gegenstand oder Bild» heißen. Ein Kind kann den Korb zeigen, während ein Partner zeichnet; anschließend prüfen beide, ob das Bild den gewählten Zustand abbildet. Wer lieber mit einer taktilen Darstellung arbeitet, kann Umrisse mit tastbaren Linien und Steine mit gut unterscheidbaren Formen darstellen, sofern die Materialien passen. Lassen Sie das Kind entscheiden, welche Form ihm bei welcher Frage hilft.

Fragen Sie zum Schluss konkret: «Womit konnten wir den Stein bewegen?» und «Woran erinnern wir uns mithilfe der Zeichnung?» Eine mögliche Antwort ist, dass der echte Stein bewegt wurde und das Bild den früheren Zustand bewahrt. Das Kind kann zeigen statt sprechen oder eine andere Beobachtung nennen. Es muss keine allgemeine Rangliste der besseren Darstellung geben.

Ein kleines Beispiel mit vier Steinen dokumentieren

Beginnen Sie mit vier Bausteinen in einem Korb und einer freien Fläche daneben. Zeichnen Sie diesen Ausgangszustand: vier Zeichen innerhalb des Korbumrisses und keines auf der Fläche daneben. Ein Kind, das nicht selbst zeichnet, kann vier Steine nacheinander zeigen, während eine andere Person die Zeichen setzt. Prüfen Sie zusammen, ob jedes Zeichen für genau einen Stein steht und alle vier Steine berücksichtigt sind.

Nehmen Sie einen Stein heraus. Jetzt liegen drei im Korb und einer daneben. Auf einem zweiten Bild zeichnen Sie drei Zeichen innerhalb und eines außerhalb des Umrisses. Vergleichen Sie die beiden Bilder: Die Anzahl im Korb hat sich von vier auf drei verändert, die Anzahl daneben von null auf eins. Zusammen sind weiterhin vier Steine dargestellt, sofern kein weiterer Stein dazugekommen oder weggegangen ist.

Nehmen Sie einen weiteren Stein heraus. Dann befinden sich zwei im Korb und zwei daneben. Ein drittes Bild kann diesen Zustand zeigen. Die Reihenfolge der Bilder darf mit Pfeilen oder Datums- beziehungsweise Schrittangaben gekennzeichnet werden. Ein Kind kann die Bilder auch nebeneinanderlegen und die echten Steine so bewegen, dass der Aufbau jeweils zu einem ausgewählten Bild passt.

Nach dem dritten Herausnehmen liegt noch ein Stein im Korb und drei liegen daneben. Nach dem vierten ist der Korb ohne Baustein; alle vier liegen daneben. Die Folge der Anzahlen im Korb lautet vier, drei, zwei, eins, null. Die Zahlen außerhalb lauten entsprechend null, eins, zwei, drei, vier. Lesen Sie die Folge nur, wenn sie für das Kind interessant ist; der letzte leere Korb kann auch ohne Zahlreihe untersucht werden.

Wählen Sie zum Vergleich zwei bestimmte Zeitpunkte aus, etwa den Anfang und das Ende. Am Anfang waren vier Steine im Korb, am Ende null. Die vier Steine daneben zeigen, wohin sie gelangt sind. Wenn das Kind nur die beiden Zustände sieht, lässt sich aus ihnen allein nicht erkennen, ob die Steine einzeln oder gleichzeitig herausgenommen wurden. Dafür braucht es die beobachteten Zwischenschritte oder eine zusätzliche Beschreibung.

Das Kind kann einen Bildstreifen selbst entwerfen: In welchem Feld soll die Spielfigur erscheinen, und welche Zeichen stehen für die Steine? Fragen Sie vor dem Ergänzen, ob die Figur mitgezählt werden soll. Für «Bausteine im Korb» zählt sie nicht als Baustein, auch wenn sie innerhalb des Umrisses gezeichnet ist. Für «alle Gegenstände im Korb» wäre die Frage anders zu beantworten, wenn die Figur als eigener Gegenstand dargestellt wird.

Wenn die vier Bilder viel Platz oder Aufmerksamkeit beanspruchen, genügen zwei: ein Korb mit einem Stein und derselbe Korb ohne Stein. Der andere Korb und die übrigen Materialien können beiseitebleiben. Eine kurze Gegenüberstellung macht die Handlung nicht weniger vollständig. Sie lässt sich später durch weitere Schritte erweitern, wenn das Kind einen Grund dafür sieht.

Eine Variante besteht darin, den leeren Korb mit einem Stein zu füllen, statt ihn zu leeren. Zeichnen Sie den Korb zuerst ohne Zeichen und danach mit einem Zeichen. Der Pfeil zeigt vom leeren zum gefüllten Zustand. Wenn Sie dieselben Bilder umgekehrt anordnen, beschreiben sie das Herausnehmen. Die Bilder selbst bleiben gleich; ihre Reihenfolge und die erklärte Bewegung verändern die erzählte Handlung.

Ein Bild kann außerdem einen Zustand zeigen, der mit den vorhandenen Gegenständen gerade nicht aufgebaut ist. Zeichnen Sie etwa einen leeren Korb, während alle vier Steine in einem anderen liegen. Fragen Sie, was geändert werden müsste, damit der echte Aufbau dem Bild entspricht. Das Kind kann Steine umlegen oder erklären, dass der dargestellte Korb bereits leer ist. So wird die Zeichnung zu einer nachvollziehbaren Vorlage, ohne selbst die Gegenstände zu bewegen.

Um Missverständnisse bei einer Legende zu vermeiden, können Sie neben einen einzelnen Punkt schreiben oder diktieren: «Ein Punkt bedeutet einen Baustein.» Ein Strich für den Korbrand zählt dann nicht als Stein. Hat das Kind andere Zeichen gewählt, gilt seine vereinbarte Zuordnung. Vergleichen Sie nicht die Zahl aller Striche auf dem Blatt, sondern die Zahl der Zeichen, die ausdrücklich Bausteine darstellen.

Am Ende kann das Kind auswählen, welches Bild es noch einmal ansehen möchte. Ein Vergleich darf mit einer offenen Frage enden: «Wo liegt der Stein jetzt?» Die Antwort lässt sich gemeinsam am tatsächlichen Aufbau überprüfen.

Missverständnisse gemeinsam überprüfen

Sagt das Kind beim leeren Korb «eins», fragen Sie, was es gezählt hat. Vielleicht meint es den einen Korb statt der Steine. Bestätigen Sie, dass ein Korb vorhanden ist, und wiederholen Sie die präzisierte Frage nach den Bausteinen darin. Eine unerwartete Antwort kann auf eine andere, durchaus sinnvolle Frage passen.

Wenn ein Stein am Rand liegt, legen Sie gemeinsam fest, ob er für diese Runde innen oder außen gezählt wird. Verschieben Sie ihn bei Bedarf eindeutig, bevor Sie das Bild dazu anfertigen. Ohne eine klare Grenze können zwei Personen unterschiedliche Anzahlen nennen, obwohl beide aufmerksam hinschauen. Bei einem markierten Tischbereich erfüllt die Linie dieselbe Funktion wie der Korbrand.

Verwechseln Sie «nicht gesehen» nicht mit «nicht vorhanden». Ein geschlossener Korb oder ein Bild ohne sichtbaren Innenraum lässt offen, ob Steine darin liegen. Fragen Sie zunächst, was man weiß, und öffnen Sie den Korb mit Einverständnis, wenn eine Prüfung möglich ist. Erst nach dem Nachsehen können Sie für den geprüften Moment sagen, dass null Bausteine darin liegen.

Fällt beim Zeichnen ein Punkt versehentlich außerhalb des Umrisses, fragen Sie das Kind, was er bedeuten sollte. Vielleicht stellt er einen Stein neben dem Korb dar; vielleicht war die Position unbeabsichtigt. Das Kind kann den Punkt neu setzen, eine Erklärung ergänzen oder das Bild so lassen. Entscheidend ist eine gemeinsam verständliche Zuordnung, nicht eine möglichst saubere Zeichnung.

Wenn eine Aufgabe zu viele Schritte verlangt, behalten Sie nur die unmittelbare Veränderung: ein Stein liegt im Korb, dann liegt keiner mehr darin. Ein Partner kann den Vorgang beschreiben, während das Kind zeigt. Die spätere Zeichnung oder das Zahlzeichen sind optional. Bedarf an Unterstützung sagt für sich genommen nichts darüber aus, ob das Kind die Idee von null verstehen kann.

Beenden Sie die Runde, wenn das Interesse nachlässt. Eine Notiz wie «Sie zeigte auf den leeren Korb, nachdem wir hineingeschaut hatten» hält eine konkrete Handlung und die verfügbare Hilfe fest. Sie ist keine umfassende Leistungsbewertung. Vielleicht möchte das Kind beim nächsten Mal eine Spielfigur die Körbe wählen lassen oder lieber ein ganz anderes Spiel beginnen.

Auch beim Fotografieren kann eine Beschriftung helfen: «Korb A vor dem Herausnehmen» und «Korb A danach». Wird der Korb zwischen den Aufnahmen gedreht, bleibt die Zuordnung über seine Markierung nachvollziehbar. Wenn eine Person auf dem Bild zu sehen ist, entscheiden Sie gemeinsam über die Aufbewahrung. Für die mathematische Frage reicht oft ein selbst gezeichneter Umriss ohne Aufnahme einer Person.

Ein Gegenstand kann eine Veränderung erleben, während ein Bild sie erzählt. Diese beiden Rollen ergänzen sich besonders beim Erklären für eine Person, die nicht dabei war. Das Kind kann die Bilder in Reihenfolge zeigen und ein Partner stellt die Handlung mit dem Korb nach. Stimmen Bild und Aufbau nicht überein, fragen Sie zuerst, ob beide denselben Zeitpunkt darstellen sollen. Vielleicht ist nicht einer davon falsch, sondern er zeigt einen anderen Schritt.

Eine kleine Tabelle kann dieselbe Geschichte festhalten: eine Spalte für den Zeitpunkt, eine für die Steine im Korb und eine für die Steine daneben. Bei einem Stein im Korb und keinem daneben stehen dort eins und null; nach dem Herausnehmen null und eins. Die Tabelle zeigt Zahlen, aber ohne erklärende Überschriften ist nicht erkennbar, zu welchem Ort sie gehören. Sie ist eine zusätzliche Möglichkeit und keine Voraussetzung für die Begegnung mit null.