Vier oder fünf? Zwei Kinder vergleichen Mengen durch Paare

Die Ausgangssituation

Legen Sie auf eine Unterlage vier gleich große Plättchen mit deutlichen Abständen. Auf einer zweiten Unterlage liegen fünf gleich große Plättchen dicht nebeneinander. Die Reihe mit vier Plättchen kann dadurch länger aussehen als die Reihe mit fünf. Sagen Sie den Kindern, welche beiden Gruppen verglichen werden, und fragen Sie: „Auf welcher Unterlage liegen mehr Plättchen?“

Eine erste Vermutung darf aus dem Aussehen entstehen. Wenn ein Kind auf die längere Reihe zeigt, fragen Sie, woran es seine Entscheidung festgemacht hat. „Diese Reihe ist länger“ kann eine richtige Beobachtung über die Anordnung sein. Die Frage nach der Anzahl lässt sich anschließend gesondert prüfen: Eine größere räumliche Ausdehnung bedeutet nicht von selbst, dass mehr einzelne Plättchen vorhanden sind.

Für die vorgeschlagene Paarbildung wird jeweils ein Plättchen der ersten Gruppe einem Plättchen der zweiten zugeordnet. Sind vier Paare gebildet, bleibt aus der Fünfergruppe ein Plättchen ohne Partner. Die Gruppe mit fünf enthält also ein Plättchen mehr als die Gruppe mit vier. Beide Kinder können das Ergebnis sehen oder auf eine für sie zugängliche Weise nachvollziehen.

Anstelle von Plättchen eignen sich neun andere sichere, gut unterscheidbare Gegenstände, etwa große Karten. Eine erwachsene Person prüft, welche Materialien für die Beteiligten passend sind. Kleine Teile sind nicht für jede Situation geeignet. Die Unterlagen können Blätter, Tücher oder markierte Bereiche auf einem Tisch sein; wichtig ist, dass vor dem Vergleich klar ist, welcher Gegenstand zu welcher Gruppe gehört.

Eine gemeinsame Runde vorbereiten

Fragen Sie die Kinder, ob sie die beiden Gruppen vergleichen möchten. Eine Person kann zunächst vier Plättchen auf die erste Unterlage legen, die andere fünf auf die zweite. Wer die Mengen noch nicht selbst abgezählt hat oder dabei Unterstützung möchte, kann Gegenstände nach eigener Anweisung legen lassen. Die Zahlen müssen während des Spiels nicht verdeckt werden: Hier geht es um das Vergleichen, nicht um eine Gedächtnisprüfung.

Die Unterlagen sollten für beide Beteiligten erreichbar oder zumindest auf ihre gewohnte Weise zugänglich sein. Liegt eine Gruppe hinter einer Tasche oder in einem schwer einsehbaren Winkel, kann die Entscheidung durch die Sicht erschwert werden. Rücken Sie die Materialien gemeinsam zurecht, bevor Sie aus einer Antwort etwas über die Mengenfrage schließen.

Vereinbaren Sie, wie die Paare gezeigt werden. Man kann ein Plättchen von jeder Unterlage nebeneinander in einen freien Bereich legen. Alternativ können die Gegenstände liegen bleiben und mit einem Finger oder einer Karte verbunden werden. Beim Bewegen muss klar bleiben, welche zwei Dinge bereits ein Paar bilden, damit ein Plättchen nicht versehentlich zwei Partner erhält.

Die Aufgabe verlangt keine besondere Geschwindigkeit. Ein Kind kann die erste Verbindung vorschlagen und das andere prüfen, ob beide Gegenstände noch frei sind. Danach entscheiden sie gemeinsam über das nächste Paar. Wer nur zeigen möchte, kann eine andere Person bitten, die Bewegung auszuführen. Eine helfende Hand soll die Entscheidung des Kindes umsetzen und nicht ungefragt ersetzen.

Vier Paare und ein Rest

Nennen wir die erste Unterlage A und die zweite B. Nehmen Sie ein Plättchen von A und eines von B und legen Sie sie als erstes Paar nebeneinander. Wiederholen Sie das mit je einem noch nicht verwendeten Plättchen. Nach dem zweiten Paar sind von A noch zwei frei; nach dem dritten noch eines. Mit diesem letzten Plättchen von A entsteht das vierte Paar.

Auf B liegt nun noch ein Plättchen, während auf A keines mehr für ein weiteres Paar bereitliegt. Das bedeutet für die ursprünglich verglichenen Gruppen: B hatte mehr, und zwar genau ein Plättchen mehr. Die gepaarten Gegenstände gehören weiterhin zu ihren ursprünglichen Gruppen, auch wenn sie zum Vergleich auf einen dritten Bereich verschoben wurden. Das Verschieben hat sie nicht aus der ursprünglichen Anzahl gelöscht.

Wenn beide Kinder möchten, können sie die Gruppen wieder getrennt auflegen und zählen: eins, zwei, drei, vier auf A und eins, zwei, drei, vier, fünf auf B. Zählen und Paarbildung sind zwei Möglichkeiten, dieselbe Mengenbeziehung zu prüfen. Für die Aussage „fünf sind eins mehr als vier“ muss das Kind nicht zwingend beide Verfahren allein ausführen oder die Zahlen schriftlich notieren.

Ein Rest allein genügt nur dann als Begründung, wenn alle möglichen Paare gebildet wurden und jedes Plättchen höchstens einmal verwendet wurde. Bleiben auf beiden Seiten Gegenstände frei, obwohl man noch eines von jeder Seite verbinden könnte, ist der Vergleich noch nicht abgeschlossen. Fragen Sie: „Können wir aus diesen beiden noch ein Paar machen?“ statt vorschnell eine größere Gruppe zu bestimmen.

Rollen, die beide Kinder mitgestalten

Ein mögliches Spiel beginnt damit, dass ein Kind ein freies Plättchen von A auswählt und das andere einen Partner von B vorschlägt. Gemeinsam entscheiden sie, ob die beiden noch zu keinem Paar gehören. Beim nächsten Paar können die Rollen wechseln. So treffen beide Entscheidungen und eine Person ist nicht dauerhaft nur für das Zuschauen zuständig.

Ein Rollenwechsel ist ein Angebot, keine Pflicht nach jedem Zug. Vielleicht möchte ein Kind durchgehend zeigen und das andere gern bewegen. Wenn beide mit dieser Aufteilung zufrieden sind und ihre Entscheidungen ausdrücken können, kann sie bestehen bleiben. Ein Wechsel wird sinnvoll, wenn jemand ebenfalls eine andere Aufgabe ausprobieren möchte oder sich eine Person übergangen fühlt.

Wenn zwei Kinder gleichzeitig nach demselben Plättchen greifen, können sie kurz vereinbaren, wer dieses Paar legt und wer das nächste vorschlägt. Gehört das Material einem der Kinder, braucht die gemeinsame Nutzung dessen Zustimmung. Eine mathematische Aufgabe gibt niemandem das Recht, persönliche Gegenstände gegen den Willen des Eigentümers zu nehmen.

Eine erwachsene Person kann helfen, die Absprachen hörbar oder sichtbar zu machen: „Du schlägst dieses Plättchen vor; möchtest du, dass dein Partner es bewegt?“ Sie sollte nicht bei jedem Zug die Lösung vorsagen. Wenn die Kinder eine andere verständliche Aufteilung erfinden, dürfen sie diese nutzen, solange erkennbar bleibt, welche Gegenstände sie vergleichen.

Die Abstände verändern, ohne die Menge zu verändern

Legen Sie nach dem ersten Vergleich wieder vier Plättchen auf A und fünf auf B. Schieben Sie die vier nun eng zusammen und die fünf weiter auseinander. Dabei darf kein Plättchen hinzukommen oder verschwinden. Welche Reihe länger aussieht, kann sich ändern; die Anzahl auf den Unterlagen bleibt vier beziehungsweise fünf.

Die Kinder können erneut Paare bilden, wenn sie das möchten. Das vierte Paar lässt wieder ein Plättchen aus der Fünfergruppe ohne Partner. Diesmal passt das räumliche Bild womöglich besser zur Mengenbeziehung. Gerade der Vergleich beider Anordnungen zeigt: Es ist die Zahl der einzelnen Gegenstände, nicht der Abstand zwischen ihnen, die hier beantwortet werden soll.

Verändern Sie die Lage sichtbar und sagen Sie, was Sie tun: „Ich schiebe diese Plättchen auseinander; keines kommt dazu.“ Werden die Gegenstände währenddessen verdeckt oder fällt einer vom Tisch, ist nicht mehr ohne Weiteres klar, ob die Ausgangsgruppen erhalten blieben. Stellen Sie dann die Situation gemeinsam wieder her oder benennen Sie die tatsächliche Änderung.

Auch die Form der Anordnung kann variieren. Vier Plättchen könnten ein Quadrat bilden, fünf eine enge Reihe. Ein Quadrat ist weder automatisch weniger noch mehr als eine Reihe; es beschreibt eine Form. Für den Mengenvergleich werden die einzelnen Plättchen zugeordnet oder gezählt. Die Kinder dürfen zugleich andere Eigenschaften bemerken und darüber sprechen.

Zählen und Paaren beantworten dieselbe Ausgangsfrage

Beim Zählen erhält jedes Plättchen einer Gruppe genau ein Zahlwort. Bei vier Plättchen nennen die Beteiligten „eins, zwei, drei, vier“ und beziehen die letzte Zahl auf die gesamte Gruppe. Anschließend wird die andere Gruppe getrennt gezählt. Wer beide Ergebnisse vergleicht, kann feststellen: Fünf ist mehr als vier. Ein sichtbares Paar kann anschließend verdeutlichen, wie groß der Unterschied in dieser konkreten Situation ist.

Beim Paaren müssen die Zahlwörter nicht zuerst bekannt sein. Solange für jedes Plättchen der einen Gruppe genau ein Gegenstück aus der anderen gefunden werden kann und dort eines übrig bleibt, hat die Gruppe mit dem Rest mehr. Wer möchte, kann die Anzahl des Rests zusätzlich zählen. Ein Rest von einem Plättchen bedeutet hier, dass sich die Gruppen um eins unterscheiden.

Beide Verfahren können durch die Darstellung erschwert werden. Wenn Plättchen sich berühren oder übereinanderliegen, ist nicht immer sichtbar, wo eines endet und das nächste beginnt. Ein erwachsener Helfer kann sie nach Absprache etwas trennen. Dabei darf er keine Gegenstände hinzufügen oder entfernen, wenn dieselben Ausgangsmengen verglichen werden sollen.

Eine Person kann die Zahlwörter sagen, während die andere zeigt. Oder ein Kind entscheidet über die Paarbildung, und ein Partner legt die Gegenstände. Beschreiben Sie diese Unterstützung, wenn Sie später über die Runde sprechen. Aus einer gemeinsam gelösten Aufgabe lässt sich nicht automatisch ableiten, wie dieselbe Person eine andere Anordnung ohne Unterstützung bearbeiten würde.

Was passiert bei gleich vielen?

Für eine neue Runde können beide Unterlagen je vier Plättchen erhalten. Die vier auf A liegen weit auseinander, die vier auf B dicht zusammen. Wieder kann eine Reihe länger sein. Bilden die Kinder vier vollständige Paare und bleibt auf keiner Seite ein Plättchen übrig, enthalten die ausgewählten Gruppen gleich viele Gegenstände.

„Gleich viele“ bedeutet hier nicht, dass die Reihen gleich lang aussehen oder dass die Plättchen am selben Ort liegen. Es bedeutet, dass jedem Gegenstand der einen Gruppe genau ein Gegenstand der anderen zugeordnet werden kann und nichts übrig bleibt. Wenn die Kinder anschließend alle Plättchen zählen, erhalten sie für jede Gruppe vier.

Verändern Sie gegenüber dem ersten Beispiel ausdrücklich die Anzahl auf B: Ein Plättchen wurde weggenommen oder gehört nicht mehr zur Vergleichsgruppe. Geschieht das unbemerkt, könnten die Kinder glauben, allein das Zusammenschieben habe aus fünf Plättchen vier gemacht. Zeigen Sie den entfernten Gegenstand und benennen Sie den Unterschied zwischen Verschieben und Wegnehmen.

Eine Gleichstandsrunde ist keine Pflicht. Sie eignet sich, wenn die Kinder die Frage selbst stellen oder noch ein Beispiel vergleichen wollen. Endet das Spiel nach dem ursprünglichen Vier-und-fünf-Vergleich, bleibt die erste Runde vollständig. Die freiwillige Fortsetzung soll die Ausgangsfrage erweitern, nicht die Akzeptanz der ersten Antwort nachträglich infrage stellen.

Wenn Gegenstände hinzukommen oder fehlen

Angenommen, auf A liegen vier und auf B fünf Plättchen. Ein Kind fügt A ein weiteres hinzu. Nun sind auf jeder Unterlage fünf. Bei der Paarbildung entstehen fünf Paare ohne Rest. Das Ergebnis hat sich geändert, weil ein Gegenstand hinzugefügt wurde, nicht weil die vier ursprünglichen Plättchen enger oder weiter gelegt wurden.

Eine andere Möglichkeit: Von B wird eines weggenommen und zur Seite gelegt. Jetzt liegen auf beiden Unterlagen vier. Das beiseitegelegte Plättchen existiert weiterhin, gehört aber nicht mehr zur Gruppe auf B. Wenn nach allen Plättchen auf dem Tisch gefragt wird, muss es gegebenenfalls mitgezählt werden; bei der Frage nach den beiden markierten Unterlagen bleibt es außerhalb der Vergleichsgruppen.

Nehmen Sie nicht gleichzeitig auf einer Seite etwas weg und fügen auf der anderen etwas hinzu, wenn Sie nur eine einzelne Veränderung untersuchen möchten. Sagen Sie den Kindern, welche Handlung bevorsteht, und geben Sie ihnen Gelegenheit, die neue Situation zu betrachten. Wenn sie selbst mehrere Änderungen erfinden, können Sie danach gemeinsam klären, welche Gegenstände jetzt zu welcher Gruppe gehören.

Ein heruntergefallenes Plättchen ist kein bewusstes Rechenzeichen. Heben Sie es mit Zustimmung auf und entscheiden Sie, ob die ursprüngliche Anordnung wiederhergestellt werden soll. Solange nicht klar ist, ob es zu A oder B gehörte, kann die frühere Anzahl nicht allein aus seiner Position auf dem Boden abgelesen werden. Die Beteiligten dürfen die Runde neu aufbauen oder beenden.

Wenn die Reihe länger aussieht

Stellen Sie sich vier große Abstände zwischen den Plättchen der ersten Gruppe vor und eine enge Anordnung der fünf auf der zweiten Unterlage. Ein Kind zeigt auf die erste Gruppe und sagt: „Hier ist mehr, weil die Reihe länger ist.“ Diese Antwort nennt einen sichtbaren Hinweis. Sie lässt offen, ob das Kind die Anzahl, die Länge der Reihe oder beides gleichzeitig betrachtet hat.

Würdigen Sie zunächst die Beobachtung: „Diese Reihe erstreckt sich weiter über den Tisch.“ Dann präzisieren Sie die Ausgangsfrage: „Welche Gruppe hat mehr einzelne Plättchen?“ Die Paarbildung bietet eine überprüfbare Antwort, ohne dass das Kind seinen ersten Eindruck sofort zurücknehmen muss. Nach dem Vergleich können beide Aussagen nebeneinanderstehen: Die Viererreihe ist länger angeordnet; die Fünfergruppe enthält mehr Plättchen.

Auch die Größe einzelner Gegenstände kann einen anderen Eindruck erzeugen. Drei große Karten bedecken möglicherweise mehr Fläche als vier kleine, obwohl vier einzelne Karten mehr sind als drei. Wenn zunächst nur Abstände untersucht werden sollen, verwenden Sie möglichst gleich große Gegenstände. Die Größe lässt sich später als eigene Veränderung vergleichen, sofern die Beteiligten das möchten.

Fragen Sie nicht gleichzeitig nach längerer Reihe, größerer Fläche und höherer Anzahl, ohne den Wechsel kenntlich zu machen. Eine Antwort kann zu einer dieser Fragen passen und zur anderen nicht. Wenn ein Kind sagt „diese ist größer“, bitten Sie es zu zeigen, was es mit „größer“ meint: die belegte Fläche, ein einzelnes Plättchen oder die Zahl der Gegenstände.

Wenn ein Paar nicht eindeutig ist

Zwei Plättchen liegen dicht beieinander, ein drittes in der Nähe. Gehört das dritte zum selben Paar oder wartet es noch? Legen Sie fertige Paare mit etwas Abstand nebeneinander oder markieren Sie sie mit einem eigenen Bereich. Bei Verbindungslinien darf ein Plättchen nicht mit zwei Gegenständen der anderen Gruppe verbunden werden, wenn die Aufgabe eine Eins-zu-eins-Zuordnung verlangt.

Sind Gegenstände aus beiden Ausgangsgruppen gleich und wurden sie in die Mitte geschoben, kann ihre Herkunft verloren gehen. Eine einfache Lösung ist, vor dem Verschieben je eine Gruppe mit einer andersfarbigen Unterlage zu kennzeichnen oder die Zuordnungslinien auf dem Tisch zu zeigen. Die Farbe markiert die Gruppenzugehörigkeit; sie ist nicht das Merkmal, dessen Anzahl verglichen wird.

Falls ein Kind die Gruppen nach Farben statt nach Unterlagen bildet, fragen Sie nach seiner Regel. Vielleicht hat es sinnvoll alle roten und alle blauen Plättchen gesammelt, während die Ausgangsfrage die beiden Tischbereiche betraf. Beide Sortierungen können gültig sein, beantworten aber unterschiedliche Fragen. Benennen Sie gemeinsam, welche Gruppen in dieser Runde verglichen werden sollen.

Eine Helferin oder ein Helfer kann das gewählte Paar berühren oder bewegen, nachdem das Kind beide Teile angegeben hat. Sind die Signale nicht eindeutig, fragen Sie nach, bevor Sie die Entscheidung festlegen. Die Überprüfung der Zuordnung ist eine gemeinsame Handlung und soll nicht zu einem Ratespiel über die Absicht des Kindes werden.

Gemeinsam prüfen, wenn die Vermutungen verschieden sind

Ein Kind vermutet, A habe mehr, weil die Reihe länger aussieht. Das andere vermutet B, weil es dort fünf Plättchen gezählt hat. Beide können zunächst erklären oder zeigen, worauf sie achten. Danach schlagen sie ein Prüfverfahren vor: Paare bilden, beide Gruppen zählen oder zunächst die Anordnung übersichtlicher machen. Die längere Reihe und die größere Anzahl müssen nicht dieselbe Antwort liefern.

Entscheiden sich die Kinder für Paare, kann eines zunächst auf ein freies Plättchen zeigen und das andere ein Gegenstück wählen. Nach vier Paaren wird das verbleibende Plättchen auf B betrachtet. Die Aussage „B hat eins mehr“ bezieht sich auf die ursprünglichen Gruppen, nicht nur auf den Gegenstand, der jetzt allein im freien Bereich liegt.

Wenn sie unterschiedliche Paare legen, ist das nicht automatisch ein Widerspruch. Bei gleichartigen Plättchen können verschiedene Zuordnungen zum selben Ergebnis führen, solange jedes Element höchstens einmal verwendet wird. Verläuft die Überprüfung auf zwei Wegen, vergleichen Sie die Regeln und den Rest, statt eine bestimmte Reihenfolge vorzuschreiben.

Manchmal möchte keines der Kinder seine Vermutung erläutern oder weiterspielen. Ein Erwachsener kann den Vergleich vertagen und die Gegenstände gemeinsam wegräumen. Zustimmung zu einer Frage verpflichtet nicht dazu, jede weitere Nachfrage zu beantworten. Eine unvollständige Paarbildung liefert dann keine gesicherte Aussage über die beiden Mengen; sie muss nicht als Fehler einer Person bewertet werden.

Eine Antwort zugänglich machen

Für manche Kinder sind große Gegenstände mit deutlichem Abstand besser erkennbar; andere benötigen eine Anordnung, die sie gut ertasten oder mit einem Kommunikationsgerät auswählen können. Fragen Sie nach vertrauten Hilfen und prüfen Sie, ob alle Beteiligten Zugang zu beiden Gruppen haben. Farbe allein sollte nicht die einzige Unterscheidung sein, wenn sie für eine Person nicht zuverlässig wahrnehmbar ist.

Wer mit Blicken auswählt, braucht einen ausreichenden Abstand zwischen den möglichen Zielen und eine vereinbarte Bestätigung. Wer einen Gegenstand nicht greifen kann, kann auf ihn zeigen oder den Partner zu einer Bewegung anleiten. Nach dem Verschieben darf die Person prüfen, ob ihre Absicht richtig umgesetzt wurde. Eine Assistenz sollte genügend Zeit für die Antwort lassen.

Auch Sprache kann vereinfacht werden, ohne die Frage zu verändern: „Hier vier. Dort fünf. Wo sind mehr Plättchen?“ Bei Bedarf zeigen die Begleitpersonen auf die jeweilige Unterlage. Wenn die Zahlen zunächst nicht genannt werden sollen, können sie stattdessen sagen: „Auf welcher Unterlage sind mehr einzelne Plättchen?“ Wählen Sie die Formulierung nach dem Ziel und den Kommunikationsmöglichkeiten der Beteiligten.

Wenn eine Unterlage außerhalb der Reichweite liegt, kann ein Kind ihren Inhalt möglicherweise sehen, aber nicht selbst bewegen. Das muss die Beteiligung nicht verhindern, sofern eine andere Wahlmöglichkeit und gewünschte Hilfe vorhanden sind. Besser ist es, den Aufbau nach Möglichkeit so zu verändern, dass beide Gruppen erreichbar oder auf andere Weise gleichwertig zugänglich sind.

Das Ergebnis festhalten oder die Runde beenden

Wollen die Kinder jemand anderem zeigen, was sie gefunden haben, können sie vier Paare und ein zusätzliches Plättchen zeichnen. Zwei Spalten mit Verbindungslinien sind eine Möglichkeit. Eine Erklärung wie „links vier, rechts fünf; rechts bleibt eins ohne Partner“ macht deutlich, was die Zeichnung darstellen soll. Die Paare müssen nicht in derselben Reihenfolge gezeichnet sein wie beim Legen.

Eine Notiz kann auch die Unterstützung beschreiben: „Ein Kind zeigte die Paare, das andere bewegte die Karten.“ Daraus wird sichtbar, was in dieser Runde geschah. Sie ist kein Zeugnis und erlaubt keine allgemeine Aussage über Konzentration oder spätere Schulleistungen. Weder eine schriftliche Notiz noch ein Foto ist notwendig; entscheiden Sie gemeinsam, ob das Ergebnis überhaupt aufgehoben werden soll.

Wenn die Kinder noch eine Frage verfolgen möchten, können sie eine Gruppe verändern und einen neuen Vergleich vereinbaren. Ansonsten werden die Plättchen zurückgelegt und die Runde endet. Die weiterführende Idee Mengen durch Paarbildung vergleichen kann später mit anderen Gegenständen ausprobiert werden; ein weiterer Text oder eine zusätzliche Aufgabe ist für den Abschluss nicht erforderlich.

Beim Zeichnen kann ein gemeinsamer Prüfweg helfen: Zuerst entstehen vier Zeichen für A und fünf für B. Dann verbinden die Kinder jeweils ein noch freies Zeichen aus jeder Gruppe. Am Ende betrachten sie, ob auf einer Seite ein Zeichen ohne Verbindung bleibt. Die Zeichnung ist nur dann ein passendes Abbild des Beispiels, wenn jedes Zeichen genau ein Plättchen repräsentiert und alle neun ursprünglichen Plättchen berücksichtigt wurden.

Wenn später eine Person die Seite betrachtet, ohne die Spielsituation zu kennen, kann sie nach der Bedeutung der Zeichen fragen. Die Kinder können erklären, welche Spalte welche Unterlage darstellt und warum die längere Reihe der echten Plättchen trotzdem weniger enthielt. Soll die Zeichnung niemandem gezeigt werden, genügt es, dass sie ihren Urhebern verständlich ist.